1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Bagaimana cara membuktikan 1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1) /3 ?

Berikut ini adalah pertanyaan dari jjjjoooo pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bagaimana cara membuktikan 1^2+3^2+5^2+…+(2n-1)^2=n(2n-1)(2n+1) /3 ?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

Akan diberikan 2 cara pembuktian.

Cara Pertama

Rumus khusus untuk jumlah deret bilangan kuadrat dengan U_i=i^2 adalah:

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Rumus khusus untuk jumlah deret bilangan asli dengan U_i=i adalah:

\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{i}=\frac{n(n+1)}{2}

Deret 1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2memiliki rumus suku ke-nU_n=(2n-1)^2.

Maka:

\begin{aligned}&n\longrightarrow2n-1:\\&\sum_{i=1}^{n}{(2i-1)^2}\\&{=\ }\sum_{i=1}^{n}{\left(4i^2-4i+1\right)}\\&{=\ }4\sum_{i=1}^{n}i^2-4\sum_{i=1}^{n}i+\sum_{i=1}^{n}1\\&{=\ }4\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot\frac{n(n+1)}{2}+n\\&{=\ }\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n\\&{=\ }\frac{n(2n+2)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3}\\&{=\ }\frac{n\left[(2n+2)(2n+1)-6(n+1)+3\right]}{3}\\&{=\ }\frac{n\left(4n^2+6n+2-6n-6+3\right)}{3}\\&{=\ }\frac{n\left(4n^2+2-6+3\right)}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\frac{n\left(4n^2-1\right)}{3}\\&{=\ }\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}\ \rightarrow\sf\ terbukti!\\\end{aligned}

⁣

Cara Kedua: Induksi Matematika

Akan dibuktikan dengan induksi matematika, bahwa

\displaystyle1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

untuk semua bilangan asli n.

⁣

Langkah Pertama:

Untuk n = 1:

\begin{aligned}1^2&=\frac{1(2(1)-1)(2(1)+1)}{3}\\1^2&=\frac{1(1)(3)}{3}\\1^2&=1\rightarrow \sf\ terbukti\ benar!\end{aligned}

⁣

Langkah Kedua: Asumsi

Andaikan benar untuk n = k, yaitu

\displaystyle1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2k-1)^2=\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}

maka perlu ibuktikan bahwa persamaan tersebut benar pula untuk n = k+1, yaitu

\displaystyle1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2k-1)^2+[2(k+1)-1]^2=\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}

⁣

Langkah Ketiga: Pembuktian untuk n = k+1

Ruas kiri =

\begin{aligned}&1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2k-1)^2+[2(k+1)-1]^2\\&{=\ }\frac{k(2k-1)(2k+1)}{3}+[2(k+1)-1]^2\\&{=\ }\frac{\left(2k^2-k\right)(2k+1)}{3}+4(k+1)^2-4(k+1)+1\\&{=\ }\frac{\left(2k^2-k\right)(2k+1)}{3}+4k^2+8k+4-4k-4+1\\&{=\ }\frac{\left(2k^2-k\right)(2k+1)}{3}+4k^2+4k+1\\&{=\ }\frac{\left(2k^2-k\right)(2k+1)}{3}+(2k+1)^2\\&{=\ }\frac{\left(2k^2-k\right)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}\\&{=\ }\frac{(2k+1)\left(2k^2-k+3(2k+1)\right)}{3}\end{aligned}

\begin{aligned}&{=\ }\frac{(2k+1)\left(2k^2-k+6k+3\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(2k+1)\left(2k^2+5k+3\right)}{3}\\&{=\ }\frac{(2k+1)(k+1)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+1)(2k+3)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)(2k+2-1)(2k+2+1)}{3}\\&{=\ }\frac{(k+1)[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}{3}\end{aligned}

= Ruas kanan

(TERBUKTI)

⁣

KESIMPULAN

Telah ditunjukkan bahwa persamaan di atas benar untuk n = 1, dan dengan asumsi benar untuk n = k, benar pula untuk n = k+1.

Oleh karena itu, terbukti benar bahwa

\displaystyle1^2+3^2+5^2+{\dots}+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}

untuk semua bilangan asli n.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 26 Jun 22
<< Previous Post
Next Post >>