1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Faktorkanlah polinomial x⁴ + 6x³ + 7x² + 6x +

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Faktorkanlah polinomial x⁴ + 6x³ + 7x² + 6x + 1

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

x⁴ + 6x³ + 7x² + 6x + 1dapat dinyatakan sebagai perkalian daridua faktor berupa polinomial berderajat dua, atau empat faktor berupa polinomial berderajat satu, sebagai berikut.

\begin{aligned}&x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 6x + 1\\\vphantom{\bigg|}&=\boxed{\,\left ( x^2+x+1 \right )\left ( x^2+5x+1 \right )\,}\\\vphantom{\Bigg|}&=\boxed{\,\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\left(x-\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\right)\left(x-\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\right)\,}\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan polinomial:

P(x)=x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 6x + 1

Faktor berupa polinom berderajat 1 (x-r)dari sebuah polinomial berderajatnyaitua_0x^n+a_1x^{n-1}+{\dots}+a_{n-1}x+a_n dapat diperoleh dari akar rasional dari polinomial tersebut, jika ada, di mana:

\displaystyle r=\pm\left \{ \frac{\textsf{faktor dari $a_n$}}{\textsf{faktor dari $a_0$}} \right \}

Karena pada P(x), a_0dana_n sama-sama bernilai 1, maka:

a=\pm\left \{ 1\right \}

Kita periksa untuk a=1dana=-1.

\begin{aligned}P(1)&=1^4 + 6\cdot1^3 + 7\cdot1^2 + 6\cdot1 + 1\\\therefore\ P(1)&\neq 0\\P(-1)&=(-1)^4 + 6\cdot(-1)^3 + 7\cdot(-1)^2 + 6\cdot(-1) + 1\\&=1-6+7-6+1\\&=-5+7-5\\\therefore\ P(-1)&\neq 0\end{aligned}

Karena baik 1 dan –1 bukan merupakan akar, maka kita tidak dapat memperoleh akar rasionalnya dengan teorema akar rasional.

Kita coba dengan cara lain.

Polinomial berderajat 4 dapat ditulis sebagai perkalian dari 2 buah polinomial berderajat 2. Dengan koefisien derajat tertinggi = 1, P(x) dapat dinyatakan dengan:

\begin{aligned}&x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 6x + 1\\&=\left(x^2+ax+b\right)\left(x^2+px+q\right)\\&=x^4+ax^3+bx^2+px^3+apx^2+bpx+qx^2+aqx+bq\\&=x^4+(a+p)x^3+(ap+b+q)x^2+(aq+bp)x+bq\end{aligned}

sehingga diperoleh sistem persamaan:

\begin{cases}a+p=6&...(1)\\ap+b+q=7&...(2)\\aq+bp=6&...(3)\\bq=1&...(4)\\\end{cases}

Ruas kanan persamaan (1) sama dengan ruas kanan persamaan (3).

Maka: a+p=aq+bp.

Memperhatikan kesamaan letak pada kedua ruas, dapat diperoleh:

b=q=1

yang juga memenuhi persamaan (4).

Substitusi nilai bdanq pada persamaan (2), memberikan:

\begin{aligned}&ap+2=7\\&\Rightarrow ap=5\\\end{aligned}

Karena dari persamaan (1) p=6-a, maka:

\begin{aligned}&a(6-a)=5\\&\Rightarrow 6a-a^2=5\\&\Rightarrow a^2-6a+5=0\\&\Rightarrow (a-1)(a-5)=0\\&\Rightarrow a=1\ \Rightarrow\ p=5\\&\quad\ \:{\sf atau\ }a=5\ \Rightarrow\ p=1\\\end{aligned}

Dengan memilih (a, b, p, q)=(1, 1, 5, 1), diperoleh:

\begin{aligned}P(x)&=x^4 + 6x^3 + 7x^2 + 6x + 1\\P(x)&=\left(x^2+x+1\right)\left(x^2+5x+1\right)\end{aligned}

Untuk mencari faktor berupa polinom berderajat satu, kita faktorkan kedua polinom berderajat dua tersebut, atau cari akar-akarnya.

Keduanya tidak dapat difaktorkan dengan sederhana. Maka, kita cari akar-akarnya.

Asumsi: x \in \mathbb{C}.

Untuk x^2+x+1:

\begin{aligned}x^2+x+1&=0\\x^2+x&=-1\\x^2+x+\frac{1}{4}&=-1+\frac{1}{4}\\\left(x+\frac{1}{2}\right)^2&=-\frac{3}{4}\\x+\frac{1}{2}&=\pm\sqrt{-\frac{3}{4}}=\pm\frac{\sqrt{-3}}{2}\\&=\pm\frac{\sqrt{3}\sqrt{-1}}{2}\\&=\pm\frac{i\sqrt{3}}{2}\\x&=\frac{-1\pm i\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

Untuk x^2+5x+1:

\begin{aligned}x^2+5x+1&=0\\x^2+5x&=-1\\x^2+5x+\frac{25}{4}&=-1+\frac{25}{4}\\\left(x+\frac{5}{2}\right)^2&=\frac{21}{4}\\x+\frac{5}{2}&=\pm\sqrt{\frac{21}{4}}=\pm\frac{\sqrt{21}}{2}\\x&=\frac{-5\pm\sqrt{21}}{2}\end{aligned}

Dari keempat akar tersebut, diperoleh empat faktor berupa polinomial berderajat satu dari P(x), yaitu:

\begin{aligned}\bullet\ &\left(x-\frac{-1+i\sqrt{3}}{2}\right)\\\bullet\ &\left(x-\frac{-1-i\sqrt{3}}{2}\right)\\\bullet\ &\left(x-\frac{-5+\sqrt{21}}{2}\right)\\\bullet\ &\left(x-\frac{-5-\sqrt{21}}{2}\right)\\\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 27 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>