tolong bantu ya..Buktikan bahwa tan(alpha/2)*tan (beta-gamma/2) = b-c/b+c

Berikut ini adalah pertanyaan dari maulidanayla46029 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong bantu ya..
Buktikan bahwa tan(alpha/2)*tan (beta-gamma/2) = b-c/b+c
tolong bantu ya..Buktikan bahwa tan(alpha/2)*tan (beta-gamma/2) = b-c/b+c

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika:

α, β, dan γ masing-masing menyatakan besar sudut pada sebuah segitiga, dan
a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi pada segitiga tersebut, di mana sisi a berhadapan dengan sudut α, sisi b berhadapan dengan sudut β, dan sisi c berhadapan dengan sudut γ,

maka:

$\begin{aligned}\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)=\frac{b-c}{b+c}\end{aligned}$

TERBUKTI.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pada soal, tidak jelas hubungan antara sudut α, β, dan γ pada ruas kiri, dengan variabel b dan c pada ruas kanan.

Asumsi saya adalah:

α, β, dan γ masing-masing menyatakan besar sudut pada sebuah segitiga.
a, b, dan c masing-masing menyatakan panjang sisi pada segitiga tersebut, di mana sisi a berhadapan dengan sudut α, sisi b berhadapan dengan sudut β, dan sisi c berhadapan dengan sudut γ.

Maka pembuktian yang dimaksud dapat dilakukan sebagai berikut.

$\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\\&{=\ }\tan\left(\frac{180^{\circ}-(\beta+\gamma)}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\\&{=\ }\tan\left(90^{\circ}-\frac{\beta+\gamma}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&\tan(90^{\circ}-x)=\cot x\\\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\cot\left(\dfrac{\beta+\gamma}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\\&{=\ }\frac{\cos\left(\dfrac{\beta+\gamma}{2}\right)}{\sin\left(\dfrac{\beta+\gamma}{2}\right)}\cdot\frac{\sin\left(\dfrac{\beta-\gamma}{2}\right)}{\cos\left(\dfrac{\beta-\gamma}{2}\right)}\times\left(\frac{2}{2}\right)\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{2\cos\left(\dfrac{\beta+\gamma}{2}\right)\sin\left(\dfrac{\beta-\gamma}{2}\right)}{2\sin\left(\dfrac{\beta+\gamma}{2}\right)\cos\left(\dfrac{\beta-\gamma}{2}\right)}\\&{=\ }\frac{\sin\beta-\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma}\end{aligned}$
$\begin{aligned}&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{Aturan sinus pada segitiga:}\\&\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\\&\Rightarrow a:b:c=\sin\alpha:\sin\beta:\sin\gamma\end{aligned}\right.\\&{=\ }\frac{b-c}{b+c}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}.\end{aligned}$

Jika langkah terakhir dirasa membingungkan, maka mulai dari baris (sin β – sin γ)/(sin β + sin β) dapat diperjelas lagi dengan langkah berikut.

$\begin{aligned}&\textsf{Ruas kiri}\\&{=\ }\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)\cdot\tan\left(\frac{\beta-\gamma}{2}\right)\\&{=\ }\frac{\sin\beta-\sin\gamma}{\sin\beta+\sin\gamma}\\&\quad\left[\ \begin{aligned}&\textsf{Aturan sinus pada segitiga:}\\&\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}\\&\Rightarrow \sin\gamma=\frac{c}{b}\sin\beta\end{aligned}\right.\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{\sin\beta-\dfrac{c}{b}\sin\beta}{\sin\beta+\dfrac{c}{b}\sin\beta}\\&{=\ }\frac{\cancel{\sin\beta}\left(1-\dfrac{c}{b}\right)}{\cancel{\sin\beta}\left(1+\dfrac{c}{b}\right)}\\&{=\ }\frac{1-\dfrac{c}{b}}{1+\dfrac{c}{b}}\:=\:\frac{\dfrac{b-c}{\cancel{b}}}{\dfrac{b+c}{\cancel{b}}}\\&{=\ }\frac{b-c}{b+c}\\&{=\ }\textsf{Ruas kanan}.\end{aligned}$