Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pada kubus ABCD.EFGH, panjang rusuknya sama, dan dapat dinyatakan dengan s.

Pada ΔBPE, jika kita tarik garis tegak lurus dari E hingga menyinggung BP di titik O, maka garis EO adalah garis tinggi ΔBPE.

Yang ingin dicari dari persoalan adalah:
cos α = cos ∠BPE = OP/PE
sehingga kita perlu tahu panjang OP dan PE.

BP adalah sisi miring segitiga siku-siku BCP.

BP = √(BC² + CP²)
⇒ BP = √[s² + (½s)²]
⇒ BP = √(s² + ¼s²)
⇒ BP = √(¼·5s²)
⇒ BP = ½s√5

BP juga adalah salah satu kaki dari segitiga sama kaki APB, sehingga panjang kaki lainnya, yaitu AP, sama dengan panjang BP.

⇒ AP = BP = ½s√5

Untuk menentukan panjang AO, kita dapat memanfaatkan luas ΔAPB. AO ⊥ BP, sehingga jika BP adalah alas ΔAPB, AO adalah tingginya. Sedangkan ΔAPB juga dapat memiliki alas AB, dengan tinggi BC atau AD.

L ΔAPB = ½at
⇒ ½·AB·BC = ½·BP·AO
⇒ AB·BC = BP·AO
⇒ s² = ½s√5·AO
⇒ s = ½√5·AO
⇒ AO = s / (½√5)
⇒ AO = 2s/√5
⇒ AO = (2/5)s√5

EO, atau garis tinggi ΔBPE, adalah sisi miring dari segitiga siku-siku EAO, yang siku-siku di ∠EAO.

EO = √(EA² + AO²)
⇒ EO = √[s² + [(2/5)s√5]²]
⇒ EO = √[s² + 4s²/5]
⇒ EO = √(9s²/5)
⇒ EO = 3s/√5
⇒ EO = (3/5)s√5

EP adalah sisi miring segitiga siku-siku EAP.

EP = √(EA² + AP²)
[ AP = BP = ½s√5 ]
⇒ EP = √[s² + (½s√5)²]
⇒ EP = √[s² + ¼(5s²)]
⇒ EP = √(9s²/4)
⇒ EP = 3s/2

Sehingga, dari segitiga siku-siku EOP yang siku-siku di O:

OP = √(EP² – EO²)
⇒ OP = √(9s²/4 – 9s²/5)
⇒ OP = √[9s²(¼ – 1/5)]
⇒ OP = 3s√(1/20)
⇒ OP = 3s/√20
⇒ OP = 3s/(2√5)

Akhirnya:

cos α = cos ∠BPE = OP/PE
⇒ cos α = [3s/(2√5)] / (3s/2)
⇒ cos α = 3s/(2√5) × 2/(3s)
⇒ cos α = 2/(2√5)
⇒ cos α = 1/√5
⇒ cos α = (1/5)√5

KESIMPULAN

∴  cos α = cos ∠BPE = (1/5)√5