1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Q.[tex] \\ [/tex]Jika diketahui pada segitiga ABC tan A =

Berikut ini adalah pertanyaan dari Nelsyasj pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Pertama

Q. \\
Jika diketahui pada segitiga ABC tan A = \tt \frac{1}{3} dan cos B = \tt \frac{1}{ \sqrt{10} }, tentukan \tt \frac{ |AB| }{ |BC| } = ...
\\


​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}\frac{|AB|}{|BC|}=\large\text{$\bf\sqrt{10}$}\end{aligned}

Pembahasan

Trigonometri dan Segitiga

Permasalahan

Pada ΔABC, tan A = 1/3, dan cos B = 1/√10. |AB|/|BC| = ...

Penyelesaian

Karena tan A = 1/3:

\displaystyle\sin A=\frac{1}{3}\cos A\quad...(i)

Kita tahu bahwa sec² A = 1 + tan² A dan sec A = 1/cos A. Oleh karena itu:

\begin{aligned}\cos A&=\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2A}}\\&=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}}\\&=\sqrt{\frac{1}{\frac{10}{9}}}\\&=\sqrt{\frac{9}{10}}\\\cos A&=\frac{3}{\sqrt{10}}\quad...(ii)\end{aligned}

Karena cos B = 1/√10:

\begin{aligned}\sin B&=\sqrt{1-\cos^2B}\\&=\sqrt{1-\frac{1}{10}}\\&=\sqrt{\frac{9}{10}}\\\sin B&=\frac{3}{\sqrt{10}}\qquad...(iii)\\\sin B&=3\cos B\quad...(iv)\\\cos B&=\frac{1}{3}\sin B\quad...(v)\end{aligned}

Dari hubungan pada persamaan (i), (ii), (iii), (iv), dan (v), diperoleh:

\begin{aligned}\bullet\ &\sin B = \cos A\quad...(vi)\\\bullet\ &\sin A = \cos B\quad...(vii)\\\end{aligned}

Pada ΔABC, berdasarkan aturan sinus berlaku:

\begin{aligned}&\frac{|AB|}{\sin C}=\frac{|BC|}{\sin A}=\frac{|AC|}{\sin B}\\\end{aligned}

sehingga

\begin{aligned}\frac{|AB|}{|BC|}&=\frac{\sin C}{\sin A}\\&=\frac{\sin[180^{\circ}-(A+B)]}{\sin A}\\&=\frac{\sin(A+B)}{\sin A}\\&=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\sin A}\\&\quad...\textsf{substitusi dari }(vi)\\&=\frac{\sin A\cos B+\cos A\,\underline{\cos A}}{\sin A}\\&\quad...\textsf{substitusi dari }(vii)\\&=\frac{\sin A\,\underline{\sin A}+\cos A\cos A}{\sin A}\\&=\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin A}\\&=\frac{1}{\sin A}\end{aligned}

\begin{aligned}&\quad...\textsf{substitusi dari }(vii)\\\frac{|AB|}{|BC|}&=\frac{1}{\cos B}\\&=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\\&=\boxed{\ \bf\sqrt{10}\ }\end{aligned}

\blacksquare

KESIMPULAN

\begin{aligned}&\therefore\ \frac{|AB|}{|BC|}=\large\text{$\bf\sqrt{10}$}\end{aligned}

___________________

Kesimpulan Tambahan

Dari penyelesaian di atas, diperoleh sin (A+B) = 1.

Oleh karena itu, besar ∠C = 90°, sehingga segitiga ABC adalah segitiga siku-siku yang siku-siku di ∠C.

[tex]\begin{aligned}\frac{|AB|}{|BC|}=\large\text{$\bf\sqrt{10}$}\end{aligned}[/tex]PembahasanTrigonometri dan SegitigaPermasalahanPada ΔABC, tan A = 1/3, dan cos B = 1/√10. |AB|/|BC| = ...PenyelesaianKarena tan A = 1/3:[tex]\displaystyle\sin A=\frac{1}{3}\cos A\quad...(i)[/tex]Kita tahu bahwa sec² A = 1 + tan² A dan sec A = 1/cos A. Oleh karena itu:[tex]\begin{aligned}\cos A&=\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2A}}\\&=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}}\\&=\sqrt{\frac{1}{\frac{10}{9}}}\\&=\sqrt{\frac{9}{10}}\\\cos A&=\frac{3}{\sqrt{10}}\quad...(ii)\end{aligned}[/tex]Karena cos B = 1/√10:[tex]\begin{aligned}\sin B&=\sqrt{1-\cos^2B}\\&=\sqrt{1-\frac{1}{10}}\\&=\sqrt{\frac{9}{10}}\\\sin B&=\frac{3}{\sqrt{10}}\qquad...(iii)\\\sin B&=3\cos B\quad...(iv)\\\cos B&=\frac{1}{3}\sin B\quad...(v)\end{aligned}[/tex]Dari hubungan pada persamaan [tex](i)[/tex], [tex](ii)[/tex], [tex](iii)[/tex], [tex](iv)[/tex], dan [tex](v)[/tex], diperoleh:[tex]\begin{aligned}\bullet\ &\sin B = \cos A\quad...(vi)\\\bullet\ &\sin A = \cos B\quad...(vii)\\\end{aligned}[/tex]Pada ΔABC, berdasarkan aturan sinus berlaku:[tex]\begin{aligned}&\frac{|AB|}{\sin C}=\frac{|BC|}{\sin A}=\frac{|AC|}{\sin B}\\\end{aligned}[/tex]sehingga[tex]\begin{aligned}\frac{|AB|}{|BC|}&=\frac{\sin C}{\sin A}\\&=\frac{\sin[180^{\circ}-(A+B)]}{\sin A}\\&=\frac{\sin(A+B)}{\sin A}\\&=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\sin A}\\&\quad...\textsf{substitusi dari }(vi)\\&=\frac{\sin A\cos B+\cos A\,\underline{\cos A}}{\sin A}\\&\quad...\textsf{substitusi dari }(vii)\\&=\frac{\sin A\,\underline{\sin A}+\cos A\cos A}{\sin A}\\&=\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin A}\\&=\frac{1}{\sin A}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&\quad...\textsf{substitusi dari }(vii)\\\frac{|AB|}{|BC|}&=\frac{1}{\cos B}\\&=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\\&=\boxed{\ \bf\sqrt{10}\ }\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]KESIMPULAN[tex]\begin{aligned}&\therefore\ \frac{|AB|}{|BC|}=\large\text{$\bf\sqrt{10}$}\end{aligned}[/tex]___________________Kesimpulan TambahanDari penyelesaian di atas, diperoleh sin (A+B) = 1.Oleh karena itu, besar ∠C = 90°, sehingga segitiga ABC adalah segitiga siku-siku yang siku-siku di ∠C.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 10 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>