1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

QuizJika luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y

Berikut ini adalah pertanyaan dari Conium pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

QuizJika luas daerah di kuadran I yang dibatasi kurva y = √x, sumbu x, dan y = (x - a)/(1 - a) dengan a > 1 adalah a² - 4/3, maka nilai a =​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a=\bf\dfrac{3}{2}

 

Pembahasan

Luas Daerah dengan Integral

Kurva f(x)=y=\sqrt{x} selalu berada pada kuadran I. Titik potong dengan sumbu y dan sekaligus sumbu x adalah (0, 0).

Sedangkan garis g(x)=y=\dfrac{x-a}{1-a}dengana > 1, akan memotong kurva f(x)di titik(1, 1), karena:

\begin{aligned}&y=\sqrt{x}\ \Rightarrow\ x=y^2\\&\Rightarrow y=\frac{y^2-a}{1-a}\\&\Rightarrow y^2-a=(1-a)y\\&\Rightarrow y^2-(1-a)y=a\\&\Rightarrow y^2+(a-1)y=a\\&\Rightarrow y^2+(a-1)y+\frac{(a-1)^2}{4}=a+\frac{(a-1)^2}{4}\\&\Rightarrow\left(y+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{4a+(a-1)^2}{4}\\&\Rightarrow\left(y+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{(a+1)^2}{4}\\&\Rightarrow y+\frac{a-1}{2}=\pm\frac{a-1}{2}\end{aligned}
\begin{aligned}&\Rightarrow y=-\frac{a-1}{2}+\frac{a+1}{2}\,,\ y=-\frac{a-1}{2}-\frac{a+1}{2}\\&\Rightarrow y=\frac{-a+1+a+1}{2}\,,\ y=\frac{-a+1-a-1}{2}\\&\Rightarrow y=1\,,\ y=-a\end{aligned}

y=-a tidak memenuhi, karena a > 1, juga karena titik minimum y=\sqrt{x} adalah (0, 0).

Oleh karena itu, daerah pertama yang dihitung luasnya adalah daerah antara kurva f(x) dan sumbu-x, dengan batas bawah x_1=\bf0dan batas atasx_2=\bf1.

Di sebelah kanan daerah pertama ini, ada daerah kedua yang dibatasi garis g(x) dan sumbu-x. Karena 1-a < 0, maka gradien garis ini negatif, sehingga batas ketiga dari daerah yang dihitung adalah pada saat garis memotong sumbu-x, yaitu pada saat y = 0.

\begin{aligned}&0=\frac{x-a}{1-a}\,,\ a > 1\\&\Rightarrow x-a=0\\&\Rightarrow x=a\end{aligned}

Sekarang, kita sudah peroleh batas-batas daerah kedua, yaitu x_2=\bf1danx_3=\bf a.

Dengan batas-batas ini, luas daerah yang dievaluasi adalah:

\begin{aligned}L&=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx+\int_{x_2}^{x_3}g(x)dx\\&=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{a}\frac{x-a}{1-a}\,dx\\&=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\left(\frac{1}{1-a}\right)\int_{1}^{a}(x-a)\,dx\\&=\left[\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right]_{0}^{1}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left [\frac{x^2}{2}-ax\right]_{1}^{a}\\&=\frac{2}{3}\left(1\sqrt{1}-0\right)+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{a^2}{2}-a^2-\left(\frac{1^2}{2}-a\right)\right)\end{aligned}
\begin{aligned}&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{a^2-2a^2-1+2a}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{-a^2+2a-1}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{(-1)\left(a^2-2a+1\right)}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{(-1)(1-a)}\right)\left(\frac{(a-1)^2}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{a-1}\right)\left(\frac{(a-1)^2}{2}\right)\\L&=\boxed{\ \frac{2}{3}+\frac{a-1}{2}\ }\end{aligned}

Diketahui bahwa luas daerah yang dievaluasi adalah  a^2-\dfrac{4}{3}.

Maka:

\begin{aligned}&a^2-\dfrac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow a^2=\frac{2+4}{3}+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow a^2=2+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow2a^2=4+a-1\\&\Rightarrow2a^2=a+3\\&\Rightarrow2a^2-a-3=0\\&\Rightarrow(2a-3)(a+1)=0\\&\Rightarrow a=\frac{3}{2}\,,\ a=-1\end{aligned}

Karena a > 1, maka nilai a yang memenuhi adalah  \bf\dfrac{3}{2}.

 

KESIMPULAN

\therefore\ \boxed{\ a=\bf\dfrac{3}{2}\ }

 

[tex]a=\bf\dfrac{3}{2}[/tex] PembahasanLuas Daerah dengan IntegralKurva [tex]f(x)=y=\sqrt{x}[/tex] selalu berada pada kuadran I. Titik potong dengan sumbu y dan sekaligus sumbu x adalah (0, 0). Sedangkan garis [tex]g(x)=y=\dfrac{x-a}{1-a}[/tex] dengan [tex]a > 1[/tex], akan memotong kurva [tex]f(x)[/tex] di titik (1, 1), karena:[tex]\begin{aligned}&y=\sqrt{x}\ \Rightarrow\ x=y^2\\&\Rightarrow y=\frac{y^2-a}{1-a}\\&\Rightarrow y^2-a=(1-a)y\\&\Rightarrow y^2-(1-a)y=a\\&\Rightarrow y^2+(a-1)y=a\\&\Rightarrow y^2+(a-1)y+\frac{(a-1)^2}{4}=a+\frac{(a-1)^2}{4}\\&\Rightarrow\left(y+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{4a+(a-1)^2}{4}\\&\Rightarrow\left(y+\frac{a-1}{2}\right)^2=\frac{(a+1)^2}{4}\\&\Rightarrow y+\frac{a-1}{2}=\pm\frac{a-1}{2}\end{aligned}[/tex] [tex]\begin{aligned}&\Rightarrow y=-\frac{a-1}{2}+\frac{a+1}{2}\,,\ y=-\frac{a-1}{2}-\frac{a+1}{2}\\&\Rightarrow y=\frac{-a+1+a+1}{2}\,,\ y=\frac{-a+1-a-1}{2}\\&\Rightarrow y=1\,,\ y=-a\end{aligned}[/tex][tex]y=-a[/tex] tidak memenuhi, karena [tex]a > 1[/tex], juga karena titik minimum [tex]y=\sqrt{x}[/tex] adalah (0, 0).Oleh karena itu, daerah pertama yang dihitung luasnya adalah daerah antara kurva [tex]f(x)[/tex] dan sumbu-x, dengan batas bawah [tex]x_1=\bf0[/tex] dan batas atas [tex]x_2=\bf1[/tex].Di sebelah kanan daerah pertama ini, ada daerah kedua yang dibatasi garis [tex]g(x)[/tex] dan sumbu-x. Karena [tex]1-a < 0[/tex], maka gradien garis ini negatif, sehingga batas ketiga dari daerah yang dihitung adalah pada saat garis memotong sumbu-x, yaitu pada saat [tex]y = 0[/tex].[tex]\begin{aligned}&0=\frac{x-a}{1-a}\,,\ a > 1\\&\Rightarrow x-a=0\\&\Rightarrow x=a\end{aligned}[/tex]Sekarang, kita sudah peroleh batas-batas daerah kedua, yaitu [tex]x_2=\bf1[/tex] dan [tex]x_3=\bf a[/tex].Dengan batas-batas ini, luas daerah yang dievaluasi adalah:[tex]\begin{aligned}L&=\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx+\int_{x_2}^{x_3}g(x)dx\\&=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int_{1}^{a}\frac{x-a}{1-a}\,dx\\&=\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\left(\frac{1}{1-a}\right)\int_{1}^{a}(x-a)\,dx\\&=\left[\frac{2x\sqrt{x}}{3}\right]_{0}^{1}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left [\frac{x^2}{2}-ax\right]_{1}^{a}\\&=\frac{2}{3}\left(1\sqrt{1}-0\right)+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{a^2}{2}-a^2-\left(\frac{1^2}{2}-a\right)\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{a^2-2a^2-1+2a}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{-a^2+2a-1}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{1-a}\right)\left(\frac{(-1)\left(a^2-2a+1\right)}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{(-1)(1-a)}\right)\left(\frac{(a-1)^2}{2}\right)\\&=\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{a-1}\right)\left(\frac{(a-1)^2}{2}\right)\\L&=\boxed{\ \frac{2}{3}+\frac{a-1}{2}\ }\end{aligned}[/tex]Diketahui bahwa luas daerah yang dievaluasi adalah  [tex]a^2-\dfrac{4}{3}[/tex].Maka:[tex]\begin{aligned}&a^2-\dfrac{4}{3}=\frac{2}{3}+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow a^2=\frac{2+4}{3}+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow a^2=2+\frac{a-1}{2}\\&\Rightarrow2a^2=4+a-1\\&\Rightarrow2a^2=a+3\\&\Rightarrow2a^2-a-3=0\\&\Rightarrow(2a-3)(a+1)=0\\&\Rightarrow a=\frac{3}{2}\,,\ a=-1\end{aligned}[/tex]Karena [tex]a > 1[/tex], maka nilai [tex]a[/tex] yang memenuhi adalah  [tex]\bf\dfrac{3}{2}[/tex]. KESIMPULAN[tex]\therefore\ \boxed{\ a=\bf\dfrac{3}{2}\ }[/tex] 

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 03 Aug 22
<< Previous Post
Next Post >>