Jawab:

Terbukti

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Buktikan bahwa sin x = sin a maka x = a + k · 360° dan x = (180° - a) + k · 360°

• Perhatikan gambar busur di bawah. Misal a = 30°. sin positif di kuadran I dan II. Buat garis yang melalui titik 30° sejajar sumbu X maka garis memotong titik 150° sehingga sin 150° = sin 30°.

• Untuk sudut > 360°, sin (a + k · 360°) = sin a, k ∈ N Lakukan hal yang sama pada periode 1, 2, dan seterusnya. Untuk k = 1, sin 390° = sin 30°, sin 510° = sin 150° = sin 30°.

• Untuk sudut negatif searah jarum jam. Putar demikian hingga ke titik 150° yang merati menenpuh -210° sehingga sin (-210°) = sin 150° = sin 30° dan lanjutkan hingga titik 30° sehingga sin (-330°) = sin 30° dan berlaku periodik juga.

Maka:

sin x = ½

sin x = sin 30°

x = ..., -330°, -210°, 30°, 150°, 390°, 510°, ...

Bagaimana merumuskan semua itu?

Libatkan x, a dan k, k ∈ Z

Coba buat persamaan x = a + k · 360°

k = -1 → x = 30° - 1 · 360° = -330°

k = 0 → x = 30° + 0 + 360° = 30°

k = 1 → x = 30° + 1 · 360° = 390°

tetapi sudut -210°, 150°, dan 510° belum ditemukan. Buat persamaan x = (180° - a) + k · 360°, k ∈ Z

k = -1 → x = (180° - 30°) - 1 · 360° = -210°

k = 0 → x = (180° - 30°) + 0 · 360° = 150°

k = 1 → x = (180° - 30°) + 1 · 360° = 510°

Jadi solusi dari persamaan sin x = sin a adalah

x = a + k ·360° dan x = (180° - a) + k ·360°, k ∈ Z

Buktikan bahwa cos x = cos a maka x = ± a + k · 360°

• Perhatikan gambar busur di bawah. Misal a = 60°. cos positif di kuadran I dan IV. Buat garis yang melalui titik 60° sejajar sumbu Y maka garis memotong titik 300° sehingga sin 300° = sin 60°.

• Untuk sudut > 360°, cos (a + k · 360°) = cos a, k ∈ N Lakukan hal yang sama pada periode 1, 2, dan seterusnya. Untuk k = 1, cos 420° = cos 60°, cos 660° = cos 300° = cos 60°.

• Untuk sudut negatif searah jarum jam. Putar demikian hingga ke titik 300° yang merati menenpuh -60° sehingga cos (-60°) = cos 300° = cos 60° dan lanjutkan hingga titik 60° sehingga cos (-300°) = cos 60° dan berlaku periodik juga.

Maka:

cos x = ½

cos x = cos 60°

x = ..., -300°, -60°, 60°, 300°, 420°, 660°, ...

Karena fungsi cosinus bersifat periodik maka solusi dari persamaan cos z = cos a adalah

x = a + k · 360° dan x = -a + k · 360°, k ∈ Z

Buktikan bahwa tan x = tan a, x = a + k · 180°

• Perhatikan gambar busur di bawah. Misal a = 45°. tan positif di kuadran I dan III. Buat garis yang melalui titik 45° melalui titik O(0, 0) maka garis memotong titik 225° sehingga tan 225° = tan 45°.

• Untuk sudut > 360°, tan (a + k · 360°) = tan a, k ∈ N Lakukan hal yang sama pada periode 1, 2, dan seterusnya. Untuk k = 1, tan 405° = tan 45°, tan 585° = tan 225° = tan 45°.

• Untuk sudut negatif searah jarum jam. Putar demikian hingga ke titik 225° yang merati menenpuh -135° sehingga tan (-135°) = tan 225° = tan 45° dan lanjutkan hingga titik 45° sehingga tan (-315°) = tan 45° dan berlaku periodik juga.

Maka:

tan x = 1

tan x = tan 45°

x = ..., -315°, -135°, 45°, 225°, 405°, 585°, ...

Bagaimana merumuskan semua itu?

Libatkan x, a dan k, k ∈ Z

Coba buat persamaan x = a + k · 180°

k = -2 → x = 45° - 2 · 180° = -315°

k = -1 → x = 45° - 1 · 180° = -135°

k = 0 → x = 45° + 0 · 180° = 45°

k = 1 → x = 45° + 1 · 180° = 225°

k = 2 → x = 45° + 2 · 180° = 405°

k = 3 → x = 45° + 3 · 180° = 585°

Jadi solusi dari persamaan tan x = tan a adalah

x = a + k · 180°, k ∈ Z