Tolong buktikan bahwa √(2) dan [tex] {}^{2} log(3)[/tex]merupakan bilangan irrasional?(Minta

Berikut ini adalah pertanyaan dari AlKahfiAlMulk pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong buktikan bahwa √(2) dan ${}^{2} log(3)$
merupakan bilangan irrasional?

(Minta tolong kakak2 yang pandai Matematika)
:""

#JumatBerkah
#AlKahfi

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pendahuluan

Bilangan rasionaladalah bilangan real yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau perbandingan dua bilangan bulat $a$ dan $b$ , yaitu $a/b$ atau $\dfrac{a}{b}$ , dengan syarat $b$ tidak boleh sama dengan 0.

Sebaliknya, bilangan irasional adalah bilangan real yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan atau perbandingan dua bilangan bulat. Jika dicoba dinyatakan dalam bentuk pecahan, hasil baginya tidak pernah berhenti.

_____________________

Pembuktian

Pembuktian 1: √2 merupakan bilangan irasional.

Cara pembuktian yang digunakan adalah kontradiksi, dengan mengasumsikan bahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional.

Pada bilangan bulat, kuadrat dari bilangan bulat genap pasti genap, sehingga berlaku:

$\large\text{$\begin{aligned}2\mid p^2\implies 2\mid p\quad...(i)\end{aligned}$}$

(Artinya: Jika 2 habis membagi $p^2$ , maka 2 habis membagi $p$ . Dengan kata lain, $p$ merupakan bilangan bulat genap, begitu pula $p^2$ .)

Jika $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional, maka terdapat bilangan bulat $p$ dan $q$ , di mana $p$ dan $q$ saling prima, atau dengan kata lain FPB dari $p$ dan $q$ adalah 1 (tidak memiliki faktor persekutuan lain selain 1), yang memenuhi:

$\large\text{$\begin{aligned}\sqrt{2}=\frac{p}{q}\end{aligned}$}$

Karena $p$ dan $q$ saling prima, maka pecahan $p/q$ tersebut adalah bentuk pecahan paling sederhana.

Jika kedua ruas dikuadratkan, akan diperoleh:

$\large\text{$\begin{aligned}2=\frac{p^2}{q^2}\iff p^2=2q^2\end{aligned}$}$

Hal ini berarti bahwa $p^2$ merupakan bilangan bulat genap.

Oleh karena itu, pernyataan $(i)$ berlaku, bahwa:

$\large\text{$\begin{aligned}2\mid p^2\implies 2\mid p\end{aligned}$}$

sehingga $p$ juga merupakan bilangan bulat genap.

Karena genap, maka terdapat bilangan bulat $k$ sehingga $p$ dapat dinyatakan sebagai:

$\large\text{$\begin{aligned}p=2k\end{aligned}$}$

Akibatnya:

$\large\text{$\begin{aligned}&2q^2=p^2=(2k)^2=4k^2\\&\implies q^2=2k^2\end{aligned}$}$

Ternyata, $q^2$ adalah bilangan bulat genap. Dan oleh karenanya, berdasarkan pernayataan $(i)$ , $q$ juga adalah bilangan bulat genap.

Jadi, baik $p$ maupun $q$ adalah bilangan bulat genap, sehingga $p$ dan $q$ tidak mungkin saling prima, karena kedua bilangan tersebut setidaknya memiliki faktor persekutuan lain selain 1, yaitu 2.
Hal ini kontradiktif dengan asumsi di atas, bahwa FPB dari $p$ dan $q$ adalah 1, sehingga tidak terbuktibahwa $\sqrt{2}$ adalah bilangan rasional.

KESIMPULAN
∴ Oleh karena itu, berdasarkan pembuktian dengan kontradiksi, $\sqrt{2}$ tidak mungkin merupakan bilangan rasional.
Dengan kata lain, $\sqrt{\bf2}$ adalah bilangan irasional.
$\blacksquare$

_____________________

Pembuktian 2: ²log(3) merupakan bilangan irasional.

Sama seperti di atas, kita akan menggunakan pembuktian dengan kontradiksi, dengan mengasumsikan bahwa ${}^2\log(3)$ adalah bilangan rasional.

Jika ${}^2\log(3)$ adalah bilangan rasional, maka terdapat bilangan bulat $p$ dan $q$ , di mana $p$ dan $q$ saling prima, atau dengan kata lain FPB dari $p$ dan $q$ adalah 1, yang memenuhi:

$\large\text{$\begin{aligned}{}^2\log(3)=\frac{p}{q}\end{aligned}$}$

Hal ini berarti:

$\large\text{$\begin{aligned}2^{p/q}=3\iff2^p=3^q\end{aligned}$}$

Nilai $2^p$ selalu merupakan bilangan genap. Sedangkan nilai $3^q$ selalu merupakan bilangan ganjil, tidak mungkin genap.

Akibatnya, $2^p=3^q$ adalahpernyataan yang salah, karena $2^p$ tidak mungkin bisa sama dengan $3^q$ . Hal ini menganulir atau kontradiktif dengan asumsi di atas.

KESIMPULAN
∴ Oleh karena itu, berdasarkan pembuktian dengan kontradiksi, ${}^2\log(3)$ tidak mungkin merupakan bilangan rasional.
Dengan kata lain, $\bf{}^2\log(3)$ adalah bilangan irasional.
$\blacksquare$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 07 Sep 22

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah