mohon bantuannya KK, soal integral

Berikut ini adalah pertanyaan dari ll8084205 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Mohon bantuannya KK, soal integral

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

$\int \: \sqrt{1 - \cos x} \, dx = -2 \sqrt{1-\cos x} \: \cot \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ \\$

Pembahasan

Integral adalah suatu konsep penjumlahan secara berkesinambungan (kontinu) dalam Matematika yang merupakan kebalikan dari turunan.

Sifat-sifat Integral tak Tentu

$\begin{aligned}\int \: k\cdot f(x)\, dx & \: =k\: \int \: f(x)\, dx \\ \\ \int \: x^n\, dx\: & =\frac{x^{n+1}}{n+1}\: +C \\ \\ \int \: \left(f(x)+g(x)\right)\, dx\: & =\int \: f(x)\, dx+\int \: g(x)\, dx \\ \\ \end{aligned}$

Integral tak tentu dapat ditentukan hasilnya dengan cara manipulasi aljabar, substitusi, atau integral parsial.

Diketahui :

$\int \: \sqrt{1 - \cos x} \, dx \\$

Ditanya :

Hasil dari integral tersebut.

Jawab :

$\text{Gunakan rumus } \: \: 1 - \cos x = 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) \: \:. \\ \\$

$\begin{aligned} \int \: \sqrt{1 - \cos x} \, dx & \: = \int \: \sqrt{ 2 \sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) } \, dx \\ \\ \: & = \int \: \sqrt{2} \cdot \sqrt{\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) } \, dx \\ \\ \: & = \sqrt{2} \: \int \: \sqrt{\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right) } \, dx \\ \\ \: & = \sqrt{2} \: \int \: \sin \left( \frac{x}{2} \right) \, dx \: \quad \: \: \left( \: \text{misal } \: u = \frac{x}{2} \: \: \Rightarrow \: dx = 2 \: du \: \right) \\ \\ \: & = \sqrt{2} \: \int \: \sin u \, ( 2 \: du) \\ \\ \: & = 2 \sqrt{2} \: \int \: \sin u \: du \\ \\ \: & = 2\sqrt{2} \: \cdot ( - \cos u) + C \\ \\ \: & = -2\sqrt{2} \: \cdot \cos u + C \: \quad \: \left( \: \text{ substitusi } \: u \: \text{ dengan } \: \frac{x}{2} \: \right) \\ \\ \: & = -2\sqrt{2} \: \cdot \cos \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ \\ \: & = -2\sqrt{2} \: \cdot \sin \left( \frac{x}{2} \right) \cdot \cot \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ \\ \: & = -2\sqrt{2} \: \cdot \sqrt{\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \cdot \cot \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ \\ \: & = -2 \: \sqrt{2\sin^2 \left( \frac{x}{2} \right)} \cdot \cot \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ \\ \: & = -2 \sqrt{1-\cos x} \: \cot \left( \frac{x}{2} \right) + C \\ \\ \end{aligned}$