Dua kelompok anak-anak penderita asma dipergunakan untuk mempelajari perilaku anak yang

Berikut ini adalah pertanyaan dari keizarizkia14011 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dua kelompok anak-anak penderita asma dipergunakan untuk mempelajari perilaku anakyang menderita penyakit tersebut. Satu kelompok (A) terdiri dari 160 anak yang
diperlakukan di sebuah rumah sakit, dan satu kelompok lagi (B) terdiri dari 100 anak di
suatu tempat yang terisolir. Setelah perlakuan masing-masing kelompok didiagnosa untuk
ditentukan siapa yang berperilaku anti sosial (sisopatik) dan tidak. Ternyata 25 anak dan 30
anak dari kelompok A dan B berturut-turut adalah sosiopatik. Apakah terdapat perbedaan
sosiopatik di kedua kelompok tersebut?.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terdapat dua kelompok anak-anak yang memiliki penyakit asma. Kedua kelompok ini akan dipelajari perilakunya. Kelompok A memuat 160 anak yang berada di rumah sakit, sedangkan kelompok B memuat 100 anak yang berada di tempat terisolasi. Setelah diberikan perlakuan, masing-masing kelompok didiagnosis perilaku sosiopatnya. Pada kelompok A, ada 25 anak sosiopat, sedangkan pada kelompok B, ada 30 anak sosiopat. Uji proporsi dua populasi memberikan bahwa terdapat perbedaan sosiopat antara kedua kelompok tersebut.

Penjelasan dengan langkah-langkah

Diketahui:

Kelompok A memuat 160 anak.

Kelompok B memuat 100 anak.

Ada 25 anak sosiopat di kelompok A.

Ada 30 anak sosiopat di kelompok B.

Ditanya: ada perbedaan proporsi sosiopat pada kedua kelompok?

Jawab:

Pemisalan

Misalkan X₁ merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya anak yang didiagnosis sosiopat pada kelompok A, sedangkan X₂ merupakan peubah acak yang menyatakan banyaknya anak yang didiagnosis sosiopat pada kelompok B.

Perumusan hipotesis

H₀: p₁ = p₂

H₁: p₁ ≠ p₂

Asumsi

Karena tingkat signifikansi tidak diberikan, gunakan α = 5% = 0,05.

Daerah kritis

Karena uji dua arah (pada hipotesis alternatif, diguakan tanda tidak sama dengan), digunakan nilai α/2 = 0,05/2 = 0,025. Dengan α/2 = 0,025, diperoleh:

$z_{hitung} < -1,96\text{ atau }z_{hitung} > 1,96$

Nilai proporsi

Proporsi anak sosiopat di kelompok A:

$\hat{p}_1$ = 25/160 = ⁵⁄₃₂

Proporsi anak sosiopat di kelompok B:

$\hat{p}_2$ = 30/100 = ³⁄₁₀

Proporsi total:

$\bar{p}=\frac{25+30}{160+100}=\frac{55}{260}=\frac{11}{52}$

Nilai statistik uji z

$z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})}}\\=\frac{\frac{5}{32}-\frac{3}{10}}{\sqrt{\frac{11}{52}(1-\frac{11}{52})(\frac{1}{160}+\frac{1}{100})}}\\=\frac{\frac{25}{160}-\frac{48}{160}}{\sqrt{\frac{11}{52}(\frac{52}{52}-\frac{11}{52})(\frac{5}{800}+\frac{8}{800})}}\\=\frac{-\frac{23}{160}}{\sqrt{\frac{11}{52}\cdot\frac{41}{52}\cdot\frac{13}{800}}}\\=\frac{-23}{160\sqrt{\frac{11\cdot41\cdot13}{52^2\cdot2\cdot400}}}$

$=\frac{-23}{160\sqrt{\frac{11\cdot41\cdot13}{52^2\cdot2\cdot20^2}}}\\=\frac{-23}{\frac{160}{52\cdot20}\sqrt{\frac{11\cdot41\cdot13}{2}}}\\=\frac{-23\cdot13}{2\sqrt{\frac{11\cdot41\cdot13}{2}}}\\=\frac{-23\cdot13}{\sqrt{2\cdot11\cdot41\cdot13}}\\\approx-2,761$

Kesimpulan

Karena -2,761 < -1,96, maka nilai $z_{hitung}$ berada di daerah kritis. Dengan demikian, H₀ ditolak. Jadi, sampel yang ada mendukung pernyataan bahwa terdapat perbedaan sosiopat antara kedua kelompok tersebut.