dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

Berikut ini adalah pertanyaan dari GuruFilsafat pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Turunan dari fungsi $f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} ...+\frac{x^{n}}{n!}+...$ adalah $f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} ...+\frac{x^{n}}{n!}+...$

PEMBAHASAN

Turunan atau Diferensial merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Turunan dari fungsi f(x) dapat dicari dengan menggunakan rumus berikut :

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

DIKETAHUI

$f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{0!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+...$

DITANYA

Tentukan turunan dari fungsi f(x) dengan menggunkana konsep turunan.

PENYELESAIAN

Untuk menyelesaikan soal ini pertama kita perlu penjabaran bentuk pangkat dengan binomial newton.

$(x+h)^1=x+h\\\\(x+h)^2=x^2+2xh+h^2\\\\(x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3\\.\\.\\.\\(x+h)^n=x^n+C^n_1x^{n-1}h^1+C^n_2x^{n-2}h^2+...+C^n_{n-1}x^1h^{n-1}+h^n$

Sesuai konsep limit :

$f'(x)= \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}[(\frac{1}{0!}+\frac{(x+h)}{1!}+\frac{(x+h)^2}{2!}+\frac{(x+h)^3}{3!}+...+\frac{(x+h)^n}{n!}+\frac{(x+h)^{n+1}}{(n+1)!}+...)\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}...)]\\$

$\\f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}[\frac{1-1}{0!}+\frac{(x+h)-x}{1!}+\frac{(x+h)^2-x^2}{2!}+\frac{(x+h)^3-x^3}{3!}+...+\frac{(x+h)^n-x^n}{n!}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{(x+h)^{n+1}-x^{n+1}}{(n+1)!}+...]\\\\f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}[\frac{h}{1!}+\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{2!}+\frac{x^3+3x^2h+3xh^2+h^3-x^3}{3!}+...\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{x^n+C^n_1x^{n-1}h+...+h^n-x^n}{n!}+\frac{x^{n+1}+C^{n+1}_1x^{n}h+...+h^{n+1}-x^{n+1}}{(n+1)!}+...]\\$

$f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}[\frac{h}{1!}+\frac{h(2x+h)}{2!}+\frac{h(3x^2+3xh+h^2)}{3!}+...+\frac{h(C^n_1x^{n-1}+...+h^{n-1})}{n!}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{h(C^{n+1}_1x^{n}+...+h^{n})}{(n+1)!}+...]\\\\f'(x)=\lim_{h \to 0} \frac{1}{h}[h(\frac{1}{1!}+\frac{2x+h}{2!}+\frac{3x^2+3xh+h^2}{3!}+...+\frac{C^n_1x^{n-1}+...+h^{n-1}}{n!}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{C^{n+1}_1x^{n}+...+h^{n}}{(n+1)!}+...)]\\$

$\\f'(x)=\lim_{h \to 0} [\frac{1}{1!}+\frac{2x+h}{2!}+\frac{3x^2+3xh+h^2}{3!}+...+\frac{C^n_1x^{n-1}+...+h^{n-1}}{n!}\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\frac{C^{n+1}_1x^{n}+...+h^{n}}{(n+1)!}+...]\\\\f'(x)=\frac{1}{1!}+\frac{2x+(0)}{2!}+\frac{3x^2+3x(0)+(0)^2}{3!}+...+\frac{C^n_1x^{n-1}+...+(0)^{n-1}}{n!}\\\\~~~~~~~~~~~+\frac{C^{n+1}_1x^{n}+...+(0)^{n}}{(n+1)!}+...\\$

$f'(x)=\frac{1}{1\times0!}+\frac{2x}{2\times1!}+\frac{3x^2}{3\times2!}+...+\frac{\frac{n!}{(n-1)!1!}x^{n-1}}{n!}+\frac{\frac{(n+1)!}{n!1!}x^{n}}{(n+1)!}+...\\\\f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x^{n}}{n!}+...\\\\f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$

TAMBAHAN

Fungsi $f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$ merupakan penjabaran untuk deret Maclaurin dari $f(x)=e^x$ . Sehingga :

$e^x=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$

Seperti yang kita ketahui turunan dari fungsi $f(x)=e^x$ adalah dirinya sendiri atau $f'(x)=e^x$ . Maka turunan dari fungsi $f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...+\frac{x^{n}}{n!}+...$ adalah dirinya sendiri juga atau $f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!} ...+\frac{x^{n}}{n!}+...$