Untuk memiliki akar persekutuan, kedua persamaan kuadrat harus memiliki akar yang sama. Oleh karena itu, kita dapat menyamakan akar kedua persamaan kuadrat tersebut. Misalnya, kita dapat menyamakan akar pertama dari masing-masing persamaan kuadrat. Dengan menyamakan akar pertama, kita dapat menentukan nilai theta yang membuat pasangan persamaan kuadrat tersebut memiliki akar persekutuan.

Untuk menyamakan akar pertama dari masing-masing persamaan kuadrat, kita dapat menyelesaikan persamaan kuadrat yang pertama menggunakan teorema Vieta. Persamaan kuadrat yang pertama adalah

x^2 + 2x + 3 = 0

Dengan menggunakan teorema Vieta, kita dapat menyatakan bahwa akar pertama dari persamaan kuadrat tersebut adalah -1. Dengan menyamakan akar pertama dari kedua persamaan kuadrat tersebut, kita dapat menyatakan bahwa

(2 sin theta) (-1)^2 - (4 sqrt(3) cos theta) (-1) + 3 sqrt(3) = 0

Setelah menyelesaikan persamaan tersebut, kita dapat menyatakan bahwa theta harus memenuhi persamaan

2 sin theta + 4 sqrt(3) cos theta = 0

Himpunan nilai theta yang memenuhi persamaan tersebut adalah himpunan semua bilangan real yang memenuhi

theta = arcsin(-2/4 sqrt(3)) + k * pi

dimana k merupakan bilangan bulat. Dengan demikian, himpunan nilai theta yang memenuhi persamaan tersebut adalah

theta = {arcsin(-2/4 sqrt(3)) + k * pi | k adalah bilangan bulat}