Jawaban:

1,547

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk menyelesaikan masalah ini, kita perlu menggunakan aturan logaritma yang memungkinkan kita untuk mengubah logaritma dengan dasar yang berbeda menjadi logaritma dengan dasar yang sama. Aturan dasar ini adalah:

log a x = log b x / log b a

Dalam kata lain, agar dapat mengkonversi sebuah logaritma dengan dasar a menjadi logaritma dengan dasar b, kita harus membagi logaritma itu dengan logaritma dari a ke b.

Menerapkan aturan dasar ini, kita dapat menulis:

¹²log 75 = log 75 / log 12

Sekarang, kita harus mencoba untuk mengekspresikan log 75 dan log 12 dalam istilah ⁵log3 dan ³log4, yang sudah diberikan.

Untuk log 75, kita dapat menggunakan aturan logaritma yang mengatakan bahwa:

log a b^c = c log a b

Kita memiliki:

log 75 = log (3 x 5^2) = log 3 + 2 log 5

Kita tidak memiliki nilai langsung untuk log 5, tetapi kita dapat mengalikan dan membagi kedua aturan logaritma yang sudah diberikan untuk mengekspresikannya:

log 5 = log (4/2) = log 4 - log 2

Sekarang, kita memiliki semua nilai yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah:

log 75 = log 3 + 2 log 5

= log 3 + 2 (log 4 - log 2)

= log 3 + 2 log 4 - 2 log 2

Kita juga harus mengubah basis logaritma ini menjadi basis 10, yang membuat kami membutuhkan nilai numerik akhir:

¹²log 75 = log 75 / log 12

= (log 3 + 2 log 4 - 2 log 2) / log 12

≈ 1,547