1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Diketahui suatu persamaan garis 2x - 3y + 6 =

Berikut ini adalah pertanyaan dari apr153 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Diketahui suatu persamaan garis 2x - 3y + 6 = 0 yang dipetakan terhadap T (-2, 3) lalu diteruskan dengan rotasi sejauh R (O, -315°). Tentukan nilai gradient persamaan garis setelah mengalami dua kali transformasi!​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

  • Jika yang dimaksud dengan “dua kali transformasi” adalah T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°], maka:
    nilai gradien persamaan garis setelah mengalami dua kali transformasiadalah5.
  • Jika yang dimaksud dengan “dua kali transformasi” adalah dua kali komposisi transformasi dari T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°], maka:
    nilai gradien persamaan garis setelah mengalami dua kali transformasiadalah–3/2.

 

Penjelasan

Tranformasi

Diketahui

Persamaan garis 2x - 3y + 6 = 0 yang dipetakan terhadap:

  • T[–2, 3], dilanjutkan
  • R[O, –315°]

Ditanyakan

  • Nilai gradien persamaan garis setelah mengalami dua kali transformasi.

Penyelesaian

Pertama-tama, yang dimaksud dengan “dua kali transformasi” dapat berarti ganda, yaitu:

  • Kasus 1:
    T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°] dianggap sebagai 2 kali transformasi.
  • Kasus 2:
    T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°] dianggap sebagai 1 kali transformasi (komposisi transformasi).

Silahkan konfirmasi pada guru/pemberi soal.

Untuk kedua kasus, yang ditanyakan adalah gradien garis hasil transformasi, maka kita fokuskan penyelesaian pada nilai gradien garisnya saja.

Kemudian, perhatikan bahwa translasi tidak mengubah nilai gradien garis. Yang berubah adalah nilai konstantanya.

Jadi, kita fokus ke gradiendanrotasi.

Untuk kedua kasus:
2x - 3y + 6 = 0
⇔ 3y = 2x + 6
⇔ y = (2/3)x + 2
Abaikan konstanta.
⇔ y = (2/3)x + c

Kasus 1
T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°] dianggap sebagai 2 kali transformasi.

Anggap garis sudah dipetakan terhadap T[–2, 3], atau abaikan saja. Nilai gradien garis hasil transformasi tetap sama dengan nilai gradien garis asal.

Kemudian, kita proses rotasinya.
R[O, –315°] ekuivalen dengan R[O, (–315 + 360)°] = R[O, 45°].

Bayangan dari titik (x, y) akibat R[O, θ] adalah (x', y'), yang ditentukan oleh:

\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}\binom{x}{y}\\\binom{x'}{y'}&=\binom{x\cos\theta-y\sin\theta}{x\sin\theta+y\cos\theta}\\\end{aligned}

Nilai gradien garis hasil R[O, θ] adalah:

\begin{aligned}m'&=\frac{y'}{x'}\\&=\frac{x\sin\theta+y\cos\theta}{x\cos\theta-y\sin\theta}\end{aligned}

Dengan y = (2/3)xdanθ = 45°:

\begin{aligned}m'&=\frac{x\sin45^\circ+\dfrac{2}{3}x\cos45^\circ}{x\cos45^\circ-\dfrac{2}{3}x\sin45^\circ}\\&=\frac{\cancel{x}\left(\sin45^\circ+\dfrac{2}{3}\cos45^\circ\right)}{\cancel{x}\left(\cos45^\circ-\dfrac{2}{3}\sin45^\circ\right)}\\&=\frac{\sin45^\circ+\dfrac{2}{3}\cos45^\circ}{\cos45^\circ-\dfrac{2}{3}\sin45^\circ}\end{aligned}

Kita tahu bahwa sin 45° = cos 45° = ½√2. Pilih salah satu saja, dan faktorkan.

\begin{aligned}m'&=\frac{\cancel{\sin45^\circ}\left(1+\dfrac{2}{3}\right)}{\cancel{\sin45^\circ}\left(1-\dfrac{2}{3}\right)}\\&=\frac{5/3}{1/3}\\m'&=\boxed{\,\bf5\,}\end{aligned}

KESIMPULAN 1
∴ Jadi, pada kasus ini, nilai gradien persamaan garis setelah mengalami dua kali transformasi adalah 5. Persamaan garis hasil akhir transformasi berbentuk y = 5x + c.
______________

Kasus 2
T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°] dianggap sebagai 1 kali transformasi
(komposisi transformasi)

Maksud dari anggapan pada kasus ini adalah garis ditransformasi oleh T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°], kemudian garis petanya ditransformasi lagi oleh T[–2, 3] dilanjutkan R[O, –315°].

Sama seperti kasus 1 di atas, abaikan translasi, sehingga nilai gradien garis hasil transformasi ditentukan oleh 2 kali rotasi R[O, –315°].
Karena R[O, –315°] ekuivalen dengan R[O, 45°], maka dua kali rotasi R[O, –315°] ekuivalen dengan dua kali R[O, 45°], yaitu R[O, 90°].

R[O, 90°] menghasilkan garis yang tegak lurus terhadap garis asalnya, sehingga hasil kali gradien garis asal dan gradien garis hasil transformasi = –1.

\begin{aligned}m\cdot m'&=-1\\m'&=\frac{-1}{m}=\frac{-1}{2/3}\\m'&=\boxed{\,\bf{-}\frac{3}{2}\,}\end{aligned}

KESIMPULAN 2
∴ Jadi, pada kasus ini, nilai gradien persamaan garis setelah mengalami dua kali transformasi adalah –3/2. Persamaan garis hasil akhir transformasi berbentuk y = (–3/2)x + c atau ekuivalen dengan 3x + 2y – c = 0.
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 31 May 23
<< Previous Post
Next Post >>