1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

~QUIZ~ . Soal: [tex]\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2} } + \frac{3}{2^{3} } + . .

Berikut ini adalah pertanyaan dari riotjiandra pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

~QUIZ~.
Soal:
\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2} } + \frac{3}{2^{3} } + . . . + \frac{14}{2^{14} } = . . . ?
.
Syarat untuk menjawab soal :
● Dilarang jawaban berupa komentar spam atau asal²an.
● Dilarang copas jawaban dari google.
● Jawabannya harus disertai dengan penjelasan yang masuk akal.
● Gunakanlah kata-kata jawabanmu sendiri yang baik dan benar.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{2047}{1024}\,}\end{aligned}
 

Penjelasan

Diberikan deret:

\begin{aligned}D&=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\\\end{aligned}

Deret tersebut bukan deret aritmatika, juga bukan deret geometri. Kita dapat menghitung jumlah ke-14 suku deret tersebut dengan cara sebagai berikut.

CARA PERTAMA

Misalkan kita punya deret geometri dengan suku pertama 1/2 dan rasio juga 1/2, yaitu:

\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+{\dots}+\frac{1}{2^{n}}\\\end{aligned}

Jumlah n suku pertamanya adalah:

\begin{aligned}S_n&=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\\&=\frac{\cancel{\dfrac{1}{2}}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{\cancel{1-\dfrac{1}{2}}}\\S_n&=1-\frac{1}{2^n}\end{aligned}

Sehingga, jumlah 14 suku pertamanya adalah:

\begin{aligned}S_{14}&=1-\frac{1}{2^{14}}\\\end{aligned}

Kemudian, kita kurangkan S_{14}dariD.

\begin{aligned}D&=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\\S_{14}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+{\dots}+\frac{1}{2^{14}}\\\textsf{-----}&\textsf{--------------------------------------}\ -\\D-S_{14}&=\qquad\;\!\!\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+{\dots}+\frac{13}{2^{14}}\\D-S_{14}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\right)-\frac{14}{2^{15}}\\D-S_{14}&=\frac{1}{2}D-\frac{14}{2^{15}}\\\end{aligned}

Kedua ruas dikalikan 2.

\begin{aligned}2D-2S_{14}&=D-\frac{14}{2^{14}}\\2D-D&=2S_{14}-\frac{14}{2^{14}}\end{aligned}

Selanjutnya:

\begin{aligned}D&=2\cdot\left(1-\frac{1}{2^{14}}\right)-\frac{14}{2^{14}}\\&=2-\frac{1}{2^{13}}-\frac{7}{2^{13}}\\&=2-\frac{8}{2^{13}}\\&=2-\frac{1}{2^{10}}\\&=\frac{2^{11}-1}{2^{10}}\\&=\frac{2048-1}{1024}\\D&=\boxed{\,\bf\frac{2047}{1024}\,}\end{aligned}
______________

CARA KEDUA

Tanpa memperhitungkan penyederhanaan, penyamaan penyebut pada deret tersebut akan menghasilkan pecahan yang memiliki penyebut:

\begin{aligned}&2^{1}\cdot2^2\cdot2^3{\dots}2^{14}\\&=2^{1+2+3+{\dots}+14}\\&=2^{14(15)/2}\\&=\bf2^{105}\end{aligned}

Untuk pembilangnya:

\begin{aligned}P_1&=1\cdot2^{105-1}=2^{104}\\P_2&=2\cdot2^{105-2}=2\cdot2^{103}\\P_3&=3\cdot2^{105-3}=3\cdot2^{102}\\\vdots\\P_{13}&=13\cdot2^{105-13}=13\cdot2^{92}\\P_{14}&=14\cdot2^{105-14}=14\cdot2^{91}\\\end{aligned}

Pada pembilang pecahan hasil, penjumlahannya adalah:

\begin{aligned}\textstyle\sum P=2^{104}+2^{103}+2^{102}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\{}+2^{103}+2^{102}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\{}+2^{102}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\{}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\\ddots\qquad\vdots\quad\\{}+2^{91}\\\end{aligned}

Jika dipecah per baris, menggunakan rumus deret geometri, diperoleh:

\begin{aligned}\textstyle\sum_{1} P&=2^{91}\left(2^{14}-1\right)\\\textstyle\sum_{2} P&=2^{91}\left(2^{13}-1\right)\\\vdots\\\textstyle\sum_{14} P&=2^{91}\left(2-1\right)\\\textsf{---------}&\textsf{-----------------------}\ +\\\textstyle\sum_{1}^{14} P&=2^{91}\left(2+2^2+2^4+{\dots}+2^{14}-14\right)\\&=2^{91}\left[2\left(2^{14}-1\right)-14\right]\\&=2^{92}\left[2^{14}-1-7\right]\\&=2^{92}\left[2^{14}-8\right]\\&=2^{95}\left[2^{11}-1\right]\\&=\bf2^{95}\cdot2047\end{aligned}

Maka, hasil penjumlahan deret tersebut adalah:

\begin{aligned}D&=\frac{2^{95}\cdot2047}{2^{105}}\\&=\frac{\cancel{2^{95}}\cdot2047}{\cancel{2^{95}}\cdot2^{10}}\\&=\frac{2047}{2^{10}}=\boxed{\,\bf\frac{2047}{1024}\,}\end{aligned}
______________

KESIMPULAN
∴ Jadi, jumlah deret tersebut adalah 2047/1024.
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 22 May 23
<< Previous Post
Next Post >>