2. Tentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi kurva-kurva berikut diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X. a. y = x - 1, x = -1, dan x = 2C. d. y = 3x - x², x = 1, dan x = 3

sama caranya​

Untuk menentukan volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva tersebut diputar sejauh 360° mengelilingi sumbu X, kita dapat menggunakan metode diskus atau metode cincin.

Metode Diskus:
Pada metode ini, kita membagi luasan daerah yang dibatasi oleh kurva menjadi elemen diskus dengan ketebalan Δx. Kemudian, kita menjumlahkan luasan semua diskus untuk mendapatkan volume benda putar.

a. y = x - 1, x = -1, dan x = 2

Tentukan terlebih dahulu batas-batas integral, yaitu x = -1 dan x = 2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dapat dinyatakan sebagai:

A = ∫(-1)^2 (x - 1)^2 dx

Kita dapat menggunakan rumus ekspansi binomial untuk menyelesaikan integral tersebut, yaitu:

(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1

Sehingga, integral A menjadi:

A = ∫(-1)^2 (x - 1)^2 dx = ∫(-1)^2 (x^2 - 2x + 1) dx
= [1/3 x^3 - x^2 + x]┌-1┐^2
= [1/3 (2)^3 - (2)^2 + 2] - [1/3 (-1)^3 - (-1)^2 - 1]
= 7/3

Volume benda putar dapat dinyatakan sebagai:

V = π∫(-1)^2 (x - 1)^2 dx

Kita dapat menggunakan rumus luas diskus untuk menyelesaikan integral tersebut, yaitu:

dV = πr^2 dx

r = y = x - 1
dx = Δx = 0.001 (ketebalan elemen diskus)

Sehingga, volume benda putar dapat dihitung sebagai:

V = π∫(-1)^2 (x - 1)^2 dx
= π∫(-1)^2 (y)^2 dx
= π∫(-1)^2 (x - 1)^2 dx
= π∫(-1)^2 (x^2 - 2x + 1) dx
= π∫(-1)^2 (y^2 + 2y + 1) dy (kita substitusikan y = x - 1)
= π∫(-1)^2 (y + 1)^2 dy
= π∫0^3 (y + 1)^2 dy (karena kurva berada di atas sumbu X)
= π∫0^3 (y^2 + 2y + 1) dy
= π([1/3 y^3 + y^2 + y]┌0┐^3
= π([1/3 (3)^3 + (3)^2 + 3] - [1/3 (0)^3 + (0)^2 + 0])
= 22.619 cm^3

Metode Cincin:
Pada metode ini, kita membagi benda putar menjadi elemen cincin dengan ketebalan Δx. Kemudian, kita menjumlahkan volume semua cincin untuk mendapatkan volume benda putar.

a. y = x - 1, x = -1, dan x = 2

Tentukan terlebih dahulu batas-batas integral, yaitu x = -1 dan x = 2. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva dapat dinyatakan sebagai:

A = ∫(-1)^2 (x - 1)^2 dx

Kita dapat menggunakan rumus luas cincin untuk menyelesaikan integral tersebut, yaitu:

dV = π(R^2 - r^2) dx

r = y = x - 1
R = jari-jari lingkaran yang melingkupi kurva adalah jarak dari sumbu X ke kurva. Dalam hal ini, R = x.

dx = Δx = 0.001 (ketebalan elemen cincin)

Sehingga, volume benda putar dapat dihitung sebagai:

V = ∫(-1)^2 π(R^2 - r^2) dx
= ∫(-1)^2 π(x^2 - (x - 1)^2) dx
= ∫(-1)^2 π(2x -