Untuk membuktikan pernyataan ini, kita akan menggunakan induksi matematika.

Langkah Induksi:

1. Pertama, kita akan memeriksa kasus dasar saat n = 0:

  Dalam kasus ini, pernyataan yang diberikan adalah:

  1+a+a²+a³+...+aⁿ = (1-a)/(1-a)

  Jika n = 0, maka sisi kiri pernyataan adalah 1, dan sisi kanan pernyataan adalah (1-a)/(1-a) = 1. Karena kedua sisi pernyataan ini sama, kasus dasar terbukti.

2. Selanjutnya, kita akan melakukan asumsi induktif, yaitu mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk suatu nilai n = k, di mana k ≥ 0. Dalam hal ini, asumsi kita adalah:

  1+a+a²+a³+...+aᵏ = (1-a)/(1-a)

3. Berikutnya, kita akan membuktikan pernyataan tersebut untuk n = k + 1. Dalam hal ini, pernyataan yang harus dibuktikan adalah:

  1+a+a²+a³+...+aᵏ+aᵏ⁺¹ = (1-a)/(1-a)

  Untuk membuktikan ini, kita akan menggunakan asumsi induktif yang diberikan dalam langkah sebelumnya:

  1+a+a²+a³+...+aᵏ = (1-a)/(1-a)

  Sekarang, kita dapat menambahkan aᵏ⁺¹ pada kedua sisi pernyataan tersebut:

  (1+a+a²+a³+...+aᵏ)+aᵏ⁺¹ = (1-a)/(1-a) + aᵏ⁺¹

  Kita dapat menyederhanakan bagian kiri menggunakan asumsi induktif:

  (1-a)/(1-a) + aᵏ⁺¹ = (1-a+aᵏ⁺¹(1-a))/(1-a)

  Menggunakan sifat distributif, kita bisa menulis ulang persamaan ini sebagai berikut:

  (1-a+aᵏ⁺¹-a^(k+2))/(1-a)

  Sekarang, kita dapat menyederhanakan suku-suku tersebut:

  (1-a+aᵏ⁺¹-a^(k+2))/(1-a) = (1-a+aᵏ⁺¹(1-a))/(1-a) = (1-a)/(1-a) = 1

  Karena kedua sisi persamaan ini sama, pernyataan untuk n = k + 1 terbukti.

Dengan menggunakan induksi matematika dan memeriksa kasus dasar serta melanjutkan hingga langkah induksi, kita dapat menyimpulkan bahwa pernyataan ini benar untuk semua n ≥ 0 dan a ≠ 1.

makasihnya jangan lupa : http://saweria.co/yusufwahyur