Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan [tex]\displaystyle 3^{~^3\log (\cos

Berikut ini adalah pertanyaan dari syakhayaz pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan nilai x yang memenuhi dari persamaan $\displaystyle 3^{~^3\log (\cos x+\sin x)+1/2}-2^{~^2\log (\cos x-\sin x)}=\sqrt{2},[0,2\pi]$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai x yang memenuhi persamaan logaritma trigonometri adalah { $\frac{3}{4} \pi \:;\: \frac{1}{12} \pi$ }. Sifat logaritma yang dipergunakan $a^{^a log \: f(x)}$ = f(x) dan $^a log \: b \:+\: ^a log c \:=\: ^a log \: bc$ .

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diketahui:

$3^{^3 log \: (cos \: x \:+\: sin \: x) \:+\: \frac{1}{2}} \:-\: 2^{^2 log \: (cos \: x \:-\: sin \: x)} \:=\: \sqrt{2}$
0 ≤ x ≤ 2π

Ditanyakan:

Jawaban:

$3^{^3 log \: (cos \: x \:+\: sin \: x) \:+\: \frac{1}{2}} \:-\: 2^{^2 log \: (cos \: x \:-\: sin \: x)} \:=\: \sqrt{2}$

$3^{^3 log \: (cos \: x \:+\: sin \: x) \:+\: ^3 log \: 3^{\frac{1}{2}}} \:-\: 2^{^2 log \: (cos \: x \:-\: sin \: x)} \:=\: \sqrt{2}$

$3^{^3 log \: (cos \: x \:+\: sin \: x) \:+\: ^3 log \: \sqrt{3}} \:-\: 2^{^2 log \: (cos \: x \:-\: sin \: x)} \:=\: \sqrt{2}$

$3^{^3 log \: \sqrt{3} \: (cos \: x \:+\: sin \: x)} \:-\: 2^{^2 log \: (cos \: x \:-\: sin \: x)} \:=\: \sqrt{2}$

$3^{^3 log \: (\sqrt{3} \: cos \: x \:+\: \sqrt{3} \: sin \: x)} \:-\: 2^{^2 log \: (cos \: x \:-\: sin \: x)} \:=\: \sqrt{2}$

$\sqrt{3} \: cos \: x \:+\: \sqrt{3} \: sin \: x \:-\: (cos \: x \:-\: sin \: x) \:=\: \sqrt{2}$

$\sqrt{3} \: cos \: x \:+\: \sqrt{3} \: sin \: x \:-\: cos \: x \:+\: sin \: x \:=\: \sqrt{2}$

$(\sqrt{3} \:-\: 1) \: cos \: x \:+\: (\sqrt{3} \:+\: 1) \: sin \: x \:=\: \sqrt{2}$

a cos x + b sin x = k cos (x - α)

a = $\sqrt{3} \:-\: 1$
b = $\sqrt{3} \:+\: 1$
k² = a² + b²
k² = $3 \:-\: 2 \sqrt{3} \:+\: 1 \:+\: 3 \:+\: 2 \sqrt{3} \:+\: 1$
k² = 8
k = $2 \sqrt{2}$
tan α = $\frac{b}{a}$
tan α = $\frac{\sqrt{3} \:+\: 1}{\sqrt{3} \:-\: 1} \times \frac{\sqrt{3} \:+\: 1}{\sqrt{3} \:+\: 1}$
tan α = $\frac{3 \:+\: 2 \sqrt{3} \:+\: 1}{3 \:-\: 1}$
tan α = $\frac{4 \:+\: 2 \sqrt{3}}{2}$
tan α = $2 \:+\: \sqrt{3}$
tan α = $2 \:+\: 1,73$
tan α = 3,73
α = $tan^{- 1} 3,73$
α = 75°

$(\sqrt{3} \:-\: 1) \: cos \: x \:+\: (\sqrt{3} \:+\: 1) \: sin \: x \:=\: \sqrt{2}$

menjadi

$2 \sqrt{2} \: cos \: (x \:-\: 75^o) \:=\: \sqrt{2}$

$cos \: (x \:-\: 75^o) \:=\: \frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$

$cos \: (x \:-\: 75^o) \:=\: \frac{1}{2}$

cos positif di kuadran I dan IV

Di kw I
x - 75° = 60°
x = 135°
x = $\frac{135^o}{180^o} \pi$
x = $\frac{3}{4} \pi$
Di kw IV
x - 75° = (360° - 60°)
x - 75° = 300°
x = 375°
x = 15°
x = $\frac{15^o}{180^o} \pi$
x = $\frac{1}{12} \pi$