1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Apakad d merupakan kombinasi linier dari a, b dan c

Berikut ini adalah pertanyaan dari BrainChamp pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Apakad d merupakan kombinasi linier dari a, b dan c
Apakad d merupakan kombinasi linier dari a, b dan c

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\vec{d} bukan merupakan kombinasi linierdari\vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c}.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Vektor: Kombinasi Linier

Untuk memeriksa apakah vektor \vec{d}merupakankombinasi linierdari\vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c}, kita dapat memeriksa apakah terdapat skalar x_1, x_2, dan x_3 sehingga:

\begin{aligned}\vec{d}&=x_1\vec{a}+x_2\vec{b}+x_3\vec{c}\end{aligned}

Jika keempat vektor tersebut berada dalam ruang {\rm R}^n, maka kita dapat menyelesaikannya dengan matriks lengkap (augmented matrix):

\left(\begin{array}{ccc|c}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\ &\ \vec{d}\end{array}\right)

Sebelum menyelesaikan, kita dapat memeriksa rank-nya terlebih dahulu.
Rank adalah banyak baris yang “bebas linier” dalam suatu matriks, atau dengan kata lain banyak baris tak-nol untuk semua kolomnya.

Periksa bahwa:

\begin{aligned}{\rm rank}\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}\end{pmatrix}&={\rm rank}\begin{pmatrix}\vec{a}&\vec{b}&\vec{c}&\vec{d}\end{pmatrix}\end{aligned}

  • Jika kondisi tersebut terpenuhi, maka sistem persamaannya bersifat konsisten, sehingga memiliki solusi tunggal, dan dengan begitu dapat disimpulkan bahwa \vec{d} merupakan kombinasi linier dari  \vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c}.
  • Sebaliknya, jika tidak terpenuhi, maka sistem persamaannya bersifat inkonsisten, sehingga tidak memiliki solusi, dan dengan begitu dapat disimpulkan bahwa  \vec{d} bukan merupakan kombinasi linier dari  \vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c}.

_____________

Penyelesaian Soal

Kita susun sistem persamaan dari vektor-vektor yang diberikan.

\begin{aligned}&x_1\begin{pmatrix}3\\2\\1\\-3\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}4\\2\\1\\-2\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}2\\1\\3\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}12\\11\\8\\-14\end{pmatrix}\\&\Rightarrow \begin{cases}3x_1+4x_2+2x_3=12\\2x_1+2x_2+x_3=11\\x_1+x_2+3x_3=8\\-3x_1-2x_2-x_3=-14\end{cases}\end{aligned}

Matriks lengkapnya adalah:

M=\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\2 & 2 & 1\ & 11 \\1 & 1 & 3\ & 8 \\-3 & -2 & -1\ & -14\end{array}\right)

Matriks koefisien ruas kirinya adalah:

X=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & 2\\2 & 2 & 1\\1 & 1 & 3\\-3 & -2 &-1\end{array}\right)

Kita hitung rank(X) dengan OBE.

\begin{aligned}&\begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\2 & 2 & 1\\1 & 1 & 3\\-3 & -2 &-1\end{pmatrix}\\&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}R_2-\frac{2}{3}R_1\rightarrow R_2\\\vphantom{\Big|}R_3-\frac{1}{3}R_1\rightarrow R_3\\R_4+R_1\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\0 & -2/3 & -1/3\\0 & -1/3 & 7/3\\0 & 2 &1\end{pmatrix}\end{aligned}
\begin{aligned}&\textsf{---------------------------------------------------------}\\&\begin{array}{r}R_3-\frac{1}{2}R_2\rightarrow R_3\\\vphantom{\Big|}R_4-\frac{1}{2}R_1\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \begin{pmatrix}3 & 4 & 2\\0 & -2/3 & -1/3\\0 & 0 & 5/2\\0 & 0 &0\end{pmatrix}\end{aligned}
Kita peroleh rank(X) = 3, karena terdapat 3 baris yang bebas linier.

Kemudian, kita hitung rank(M), dengan langkah OBE yang mirip.

\begin{aligned}&\left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\2 & 2 & 1\ & 11 \\1 & 1 & 3\ & 8 \\-3 & -2 & -1\ & -14\end{array}\right)\\&\textsf{------------------------------------------------------------------}\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_2-\frac{2}{3}R_1\rightarrow R_2\\\vphantom{\Big|}R_3-\frac{1}{3}R_1\rightarrow R_3\\R_4+R_1\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\0 & -2/3 & -1/3\ & 3 \\0 & -1/3 & 7/3\ & 4 \\0 & 2 &1\ & -2\end{array}\right)\\&\textsf{------------------------------------------------------------------}\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_3-\frac{1}{2}R_2\rightarrow R_3\end{array}\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\0 & -2/3 & -1/3\ & 3 \\0 & 0 & 5/2\ & 5/2 \\0 & 2 &1\ & -2\end{array}\right)\\&\textsf{------------------------------------------------------------------}\end{aligned}
\begin{aligned}&\begin{array}{r}R_4+3R_2\rightarrow R_4\end{array}\Rightarrow \left(\begin{array}{ccc|c}3 & 4 & 2\ & 12 \\0 & -2/3 & -1/3\ & 3 \\0 & 0 & 5/2\ & 5/2 \\0 & 0 &0\ & 7\end{array}\right)\end{aligned}
Kita peroleh rank(M) = 4, karena terdapat 4 baris yang bebas linier.

Karena rank(X) ≠ rank(M), maka sistem persamaannya inkonsisten, sehingga tidak memiliki solusi.

KESIMPULAN

∴ Dengan demikian, \vec{d} bukan merupakan kombinasi linierdari\vec{a}, \vec{b}, dan \vec{c}.
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 30 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>