1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tentukan gradien dan persamaan garis singgung menggunakan turunan!HELP, URGENTNO JAWABAN

Berikut ini adalah pertanyaan dari CC2006 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tentukan gradien dan persamaan garis singgung menggunakan turunan!HELP, URGENT

NO JAWABAN ALIEN/NGASAL/NGGAK TAU KAK ✔ BILA MELAKUKAN AKAN LANGSUNG DIREPORT ​
Tentukan gradien dan persamaan garis singgung menggunakan turunan!HELP, URGENTNO JAWABAN ALIEN/NGASAL/NGGAK TAU KAK ✔ BILA MELAKUKAN AKAN LANGSUNG DIREPORT ​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nomor 1

Persamaan garis singgungkurvay=\cos^3xpaday=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}untuk0 < x < \pi adalah:

\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}

Nomor 2

Persamaan garis singgung kurva y=\sqrt{\tan x+1}paday=\sqrt{2} adalah:

\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}
dengan n\in\mathbb{Z}.
(ada catatan tambahan di bagian akhir pembahasan)

_________________

Pembahasan

Nomor 1

Gradien garis singgung kurva y=\cos^3x diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:

\begin{aligned}m&=y'=\left(\cos^3x\right)'\\&=\left((\cos x)^3\right)'\\&\ \ \to\textsf{aturan rantai}\\&=3(\cos x)^2\cdot(\cos x)'\\&=3\cos^2x\cdot(-\sin x)\\\Rightarrow m&=-3\cos^2x\sin x\end{aligned}

Pada y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}, nilai x diberikan oleh:

\begin{aligned}y&=\cos^3(x)\\\Rightarrow x&=\arccos\left(\sqrt[3]{y}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3}{8}\sqrt{3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3^{3/2}}{2^3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)^3}\right)\\&=\arccos\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)\\&=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{6}+2\pi n\,,\ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\end{aligned}

Untuk rentang 0 < x < \pi, nilai yang memenuhi adalah x=\pi/6.

Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung y=mx+c, kita substitusikan m, x, dan ykec=y-mx.

\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\underbrace{\left(-\frac{9}{8}\right)}_{m}\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned}
\begin{aligned}c&=\frac{3}{8}\sqrt{3}+\frac{3\pi}{16}\\&=\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{2}\right)\end{aligned}

Persamaan garis singgung kurva y=\cos^3xpaday=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}untuk0 < x < \pi diberikan oleh:

\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=-\frac{9}{8}x+\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\8y&=-9x+3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\\end{aligned}

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}

\blacksquare

Nomor 2

Gradien garis singgung kurva y=\sqrt{\tan x+1} diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:

\begin{aligned}m&=y'=\left(\sqrt{\tan x+1}\right)'\\&=\left((\tan x+1)^{1/2}\right)'\\&=\frac{1}{2}(\tan x+1)^{-1/2}(\tan x+1)'\\&=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+1}}\cdot\sec^2x\\\Rightarrow m&=\frac{\sec^2x}{2\sqrt{\tan x+1}}\end{aligned}

Pada y=\sqrt{2}, nilai x diberikan oleh:

\begin{aligned}y&=\sqrt{\tan x+1}\\\sqrt{2}&=\sqrt{\tan x+1}\\2&=\tan x+1\\1&=\tan x\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{aligned}
dengan n \in \mathbb{Z}.

Karena rentang nilai x tidak didefinisikan, maka akan terdapat banyak garis singgung yang mungkin.

Kita pilih salah satu nilai x, yaitu x=\pi/4\implies n=0.

Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung y=mx+c, kita substitusikan m, x, dan ykec=y-mx.

\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sec^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2\sqrt{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2\sqrt{1+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\underbrace{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}_{m}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\end{aligned}

Persamaan garis singgung kurva y=\sqrt{\tan x+1}paday=\sqrt{2} diberikan oleh:

\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\pi n)+\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=(x+\pi n)+2\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=x+\pi n+2-\frac{\pi}{4}\\4y\sqrt{2}&=4x+4\pi n+8-\pi\\&=4x+(4n-1)\pi+8\end{aligned}

\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}
dengan n\in\mathbb{Z}.

Catatan:

Jika rentang xadalah0 < x < \pi seperti pada nomor 1, maka persamaan garis singgungnya adalah ketika n=0, yaitu:

\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=-\pi+8\,}\end{aligned}$}

\blacksquare

Nomor 1Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex] untuk [tex]0 < x < \pi[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}[/tex]Nomor 2Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].(ada catatan tambahan di bagian akhir pembahasan)_________________PembahasanNomor 1Gradien garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:[tex]\begin{aligned}m&=y'=\left(\cos^3x\right)'\\&=\left((\cos x)^3\right)'\\&\ \ \to\textsf{aturan rantai}\\&=3(\cos x)^2\cdot(\cos x)'\\&=3\cos^2x\cdot(-\sin x)\\\Rightarrow m&=-3\cos^2x\sin x\end{aligned}[/tex]Pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex], nilai [tex]x[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=\cos^3(x)\\\Rightarrow x&=\arccos\left(\sqrt[3]{y}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3}{8}\sqrt{3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3^{3/2}}{2^3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)^3}\right)\\&=\arccos\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)\\&=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{6}+2\pi n\,,\ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\end{aligned}[/tex]Untuk rentang [tex]0 < x < \pi[/tex], nilai yang memenuhi adalah [tex]x=\pi/6[/tex].Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung [tex]y=mx+c[/tex], kita substitusikan [tex]m[/tex], [tex]x[/tex], dan [tex]y[/tex] ke [tex]c=y-mx[/tex].[tex]\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\underbrace{\left(-\frac{9}{8}\right)}_{m}\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}c&=\frac{3}{8}\sqrt{3}+\frac{3\pi}{16}\\&=\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{2}\right)\end{aligned}[/tex]Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex] untuk [tex]0 < x < \pi[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=-\frac{9}{8}x+\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\8y&=-9x+3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]Nomor 2Gradien garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:[tex]\begin{aligned}m&=y'=\left(\sqrt{\tan x+1}\right)'\\&=\left((\tan x+1)^{1/2}\right)'\\&=\frac{1}{2}(\tan x+1)^{-1/2}(\tan x+1)'\\&=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+1}}\cdot\sec^2x\\\Rightarrow m&=\frac{\sec^2x}{2\sqrt{\tan x+1}}\end{aligned}[/tex]Pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex], nilai [tex]x[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=\sqrt{\tan x+1}\\\sqrt{2}&=\sqrt{\tan x+1}\\2&=\tan x+1\\1&=\tan x\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{aligned}[/tex]dengan [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].Karena rentang nilai [tex]x[/tex] tidak didefinisikan, maka akan terdapat banyak garis singgung yang mungkin.Kita pilih salah satu nilai x, yaitu [tex]x=\pi/4\implies n=0[/tex].Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung [tex]y=mx+c[/tex], kita substitusikan [tex]m[/tex], [tex]x[/tex], dan [tex]y[/tex] ke [tex]c=y-mx[/tex].[tex]\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sec^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2\sqrt{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2\sqrt{1+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\underbrace{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}_{m}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\end{aligned}[/tex]Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\pi n)+\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=(x+\pi n)+2\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=x+\pi n+2-\frac{\pi}{4}\\4y\sqrt{2}&=4x+4\pi n+8-\pi\\&=4x+(4n-1)\pi+8\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].Catatan:Jika rentang [tex]x[/tex] adalah [tex]0 < x < \pi[/tex] seperti pada nomor 1, maka persamaan garis singgungnya adalah ketika [tex]n=0[/tex], yaitu:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=-\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]Nomor 1Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex] untuk [tex]0 < x < \pi[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}[/tex]Nomor 2Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].(ada catatan tambahan di bagian akhir pembahasan)_________________PembahasanNomor 1Gradien garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:[tex]\begin{aligned}m&=y'=\left(\cos^3x\right)'\\&=\left((\cos x)^3\right)'\\&\ \ \to\textsf{aturan rantai}\\&=3(\cos x)^2\cdot(\cos x)'\\&=3\cos^2x\cdot(-\sin x)\\\Rightarrow m&=-3\cos^2x\sin x\end{aligned}[/tex]Pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex], nilai [tex]x[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=\cos^3(x)\\\Rightarrow x&=\arccos\left(\sqrt[3]{y}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3}{8}\sqrt{3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3^{3/2}}{2^3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)^3}\right)\\&=\arccos\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)\\&=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{6}+2\pi n\,,\ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\end{aligned}[/tex]Untuk rentang [tex]0 < x < \pi[/tex], nilai yang memenuhi adalah [tex]x=\pi/6[/tex].Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung [tex]y=mx+c[/tex], kita substitusikan [tex]m[/tex], [tex]x[/tex], dan [tex]y[/tex] ke [tex]c=y-mx[/tex].[tex]\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\underbrace{\left(-\frac{9}{8}\right)}_{m}\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}c&=\frac{3}{8}\sqrt{3}+\frac{3\pi}{16}\\&=\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{2}\right)\end{aligned}[/tex]Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex] untuk [tex]0 < x < \pi[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=-\frac{9}{8}x+\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\8y&=-9x+3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]Nomor 2Gradien garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:[tex]\begin{aligned}m&=y'=\left(\sqrt{\tan x+1}\right)'\\&=\left((\tan x+1)^{1/2}\right)'\\&=\frac{1}{2}(\tan x+1)^{-1/2}(\tan x+1)'\\&=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+1}}\cdot\sec^2x\\\Rightarrow m&=\frac{\sec^2x}{2\sqrt{\tan x+1}}\end{aligned}[/tex]Pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex], nilai [tex]x[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=\sqrt{\tan x+1}\\\sqrt{2}&=\sqrt{\tan x+1}\\2&=\tan x+1\\1&=\tan x\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{aligned}[/tex]dengan [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].Karena rentang nilai [tex]x[/tex] tidak didefinisikan, maka akan terdapat banyak garis singgung yang mungkin.Kita pilih salah satu nilai x, yaitu [tex]x=\pi/4\implies n=0[/tex].Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung [tex]y=mx+c[/tex], kita substitusikan [tex]m[/tex], [tex]x[/tex], dan [tex]y[/tex] ke [tex]c=y-mx[/tex].[tex]\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sec^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2\sqrt{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2\sqrt{1+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\underbrace{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}_{m}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\end{aligned}[/tex]Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\pi n)+\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=(x+\pi n)+2\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=x+\pi n+2-\frac{\pi}{4}\\4y\sqrt{2}&=4x+4\pi n+8-\pi\\&=4x+(4n-1)\pi+8\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].Catatan:Jika rentang [tex]x[/tex] adalah [tex]0 < x < \pi[/tex] seperti pada nomor 1, maka persamaan garis singgungnya adalah ketika [tex]n=0[/tex], yaitu:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=-\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]Nomor 1Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex] untuk [tex]0 < x < \pi[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}[/tex]Nomor 2Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex] adalah:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].(ada catatan tambahan di bagian akhir pembahasan)_________________PembahasanNomor 1Gradien garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:[tex]\begin{aligned}m&=y'=\left(\cos^3x\right)'\\&=\left((\cos x)^3\right)'\\&\ \ \to\textsf{aturan rantai}\\&=3(\cos x)^2\cdot(\cos x)'\\&=3\cos^2x\cdot(-\sin x)\\\Rightarrow m&=-3\cos^2x\sin x\end{aligned}[/tex]Pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex], nilai [tex]x[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=\cos^3(x)\\\Rightarrow x&=\arccos\left(\sqrt[3]{y}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3}{8}\sqrt{3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\frac{3^{3/2}}{2^3}}\right)\\&=\arccos\left(\sqrt[3]{\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)^3}\right)\\&=\arccos\left(\frac{3^{1/2}}{2}\right)\\&=\arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{6}+2\pi n\,,\ x=\frac{11\pi}{6}+2\pi n\end{aligned}[/tex]Untuk rentang [tex]0 < x < \pi[/tex], nilai yang memenuhi adalah [tex]x=\pi/6[/tex].Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung [tex]y=mx+c[/tex], kita substitusikan [tex]m[/tex], [tex]x[/tex], dan [tex]y[/tex] ke [tex]c=y-mx[/tex].[tex]\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cos^2\left(\frac{\pi}{6}\right)\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\left(-3\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\pi}{6}\right)\\&=\frac{3}{8}\sqrt{3}-\underbrace{\left(-\frac{9}{8}\right)}_{m}\left(\frac{\pi}{6}\right)\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}c&=\frac{3}{8}\sqrt{3}+\frac{3\pi}{16}\\&=\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi }{2}\right)\end{aligned}[/tex]Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\cos^3x[/tex] pada [tex]y=\dfrac{3}{8}\sqrt{3}[/tex] untuk [tex]0 < x < \pi[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=-\frac{9}{8}x+\frac{3}{8}\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\8y&=-9x+3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\\\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,9x+8y=3\left(\sqrt{3}+\frac{\pi}{2}\right)\,}\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]Nomor 2Gradien garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] diberikan oleh turunan pertamanya, yaitu:[tex]\begin{aligned}m&=y'=\left(\sqrt{\tan x+1}\right)'\\&=\left((\tan x+1)^{1/2}\right)'\\&=\frac{1}{2}(\tan x+1)^{-1/2}(\tan x+1)'\\&=\frac{1}{2\sqrt{\tan x+1}}\cdot\sec^2x\\\Rightarrow m&=\frac{\sec^2x}{2\sqrt{\tan x+1}}\end{aligned}[/tex]Pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex], nilai [tex]x[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=\sqrt{\tan x+1}\\\sqrt{2}&=\sqrt{\tan x+1}\\2&=\tan x+1\\1&=\tan x\\\Rightarrow x&=\frac{\pi}{4}+\pi n\end{aligned}[/tex]dengan [tex]n \in \mathbb{Z}[/tex].Karena rentang nilai [tex]x[/tex] tidak didefinisikan, maka akan terdapat banyak garis singgung yang mungkin.Kita pilih salah satu nilai x, yaitu [tex]x=\pi/4\implies n=0[/tex].Untuk menentukan nilai c dari persamaan garis singgung [tex]y=mx+c[/tex], kita substitusikan [tex]m[/tex], [tex]x[/tex], dan [tex]y[/tex] ke [tex]c=y-mx[/tex].[tex]\begin{aligned}c&=y-mx\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sec^2\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2\sqrt{\tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\left(\sqrt{2}\right)^2}{2\sqrt{1+1}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\left(\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}\right)\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}-\underbrace{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}_{m}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\\&=\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\end{aligned}[/tex]Persamaan garis singgung kurva [tex]y=\sqrt{\tan x+1}[/tex] pada [tex]y=\sqrt{2}[/tex] diberikan oleh:[tex]\begin{aligned}y&=mx+c\\y&=\frac{\sqrt{2}}{2}(x+\pi n)+\sqrt{2}\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=(x+\pi n)+2\left(1-\frac{\pi}{8}\right)\\y\sqrt{2}&=x+\pi n+2-\frac{\pi}{4}\\4y\sqrt{2}&=4x+4\pi n+8-\pi\\&=4x+(4n-1)\pi+8\end{aligned}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}\therefore\ \boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=(4n-1)\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex]dengan [tex]n\in\mathbb{Z}[/tex].Catatan:Jika rentang [tex]x[/tex] adalah [tex]0 < x < \pi[/tex] seperti pada nomor 1, maka persamaan garis singgungnya adalah ketika [tex]n=0[/tex], yaitu:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\,4y\sqrt{2}-4x=-\pi+8\,}\end{aligned}$}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 24 Oct 22
<< Previous Post
Next Post >>