1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

kuis rabu :)[tex] \displaystyle \frac{ \sqrt[3]{24 + {3}^{1}

Berikut ini adalah pertanyaan dari BlackAssassiin pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis rabu :) \displaystyle \frac{ \sqrt[3]{24 + {3}^{1} } }{ \sqrt{ \sqrt{9} } }
Sederhanakan perhitungan diatas kemudian diubah ke dalam bentuk pecahan campuran!

#kuis rabu kok munculnya malam selasa​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}&\textsf{Nilai dari }\frac{\sqrt[3]{24+3^1}}{\sqrt{\sqrt{9}}}\\&\textsf{dalam bentuk pecahan adalah}:\\&\boxed{\,\bf1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}\,}\end{aligned}
(bukan pecahan campuran, melainkan pecahan berulang)
 

Penjelasan

\begin{aligned}\frac{\sqrt[3]{24+3^1}}{\sqrt{\sqrt{9}}}&=\frac{\sqrt[3]{24+3}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt[3]{3^3}}{\sqrt{3}}\\&=\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{\cancel{\sqrt{3}}\sqrt{3}}{\cancel{\sqrt{3}}}\\\frac{\sqrt[3]{24+3^1}}{\sqrt{\sqrt{9}}}&=\bf\sqrt{3}\end{aligned}

Yang ditanyakan adalah bentuk pecahan campuran dari hasil tersebut, berarti pecahan campuran dari √3.
Pecahan campuran terdiri atas bilangan bulat dan pecahan biasa, yang dinyatakan oleh:

\begin{aligned}&\boxed{\,A\,\frac{b}{c}=A+\frac{b}{c}\,}\\\vphantom{\Big|}&\ \ {\sf dengan\ }A\in\mathbb{Z};\ b,c\in\mathbb{N}\end{aligned}

Sedangkan √3 adalah bilangan irasional. Irasional artinya tidak dapat dinyatakan dalam bentuk rasional, atau dengan kata lain tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan.

Dalam bentuk pecahan, √3 direpresentasikan dalam bentuk pecahan berulang (continued fraction).
(Atau apalah istilahnya dalam bahasa Indonesia, maaf saya kurang tahu.)

Kita coba telusuri.

Kita perhatikan bahwa:

\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)=2

sehingga:

\begin{aligned}\bullet\ &\sqrt{3}-1=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}\\\bullet\ &\sqrt{3}+1=\cfrac{2}{\sqrt{3}-1}\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}\sqrt{3}&=1+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}\\&=1+\cfrac{1}{\cfrac{\sqrt{3}+1}{2}}\\&=1+\cfrac{1}{\cfrac{1+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}+1}{2}}\\&=1+\cfrac{1}{\cfrac{2+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}}{2}}\\\sqrt{3}&=\boxed{\,1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}}\,}\\\end{aligned}

Lalu:

\begin{aligned}&\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}\\&{=\ }\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}+1}\\&{=\ }\boxed{\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}}}\\&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}+1}}\\&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{2+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}}}\\&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\boxed{\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}}}}\\&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}}}}\\&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{1+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}+1}}}}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{2+\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}}}}}\\&{=\ }\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}}}}}\\&{=\ }\textsf{dan seterusnya.}\end{aligned}

Jadi:

\begin{aligned}\cfrac{1}{\sqrt{3}+1}&=\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}\end{aligned}

Dengan demikian:

\begin{aligned}&\frac{ \sqrt[3]{24 + {3}^{1} } }{ \sqrt{ \sqrt{9} } }\\\vphantom{\Big|}&=\ \bf\sqrt{3}\\&=\ \boxed{\,\bf1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{\ddots}}}}}}\,}\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 05 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>