1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kuis: x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ n → ∞ Persamaan ini membentuk (a.) Lingkaran (b.)

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis:x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ
n → ∞

Persamaan ini membentuk
(a.) Lingkaran
(b.) Persegi panjang
(c.) Oval/elips
(d.) Persegi
(e.) Segitiga

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Pada saat n → ∞, persamaan x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿmembentukpersegi.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Kita coba analisis dengan persamaan parametrik.

Ambil x=r\left(\cos(t)\right)^{1/n}dany=r\left(\sin(t)\right)^{1/n}dengant pada kuadran I, sehingga memenuhi

\begin{aligned}x^{2n}+y^{2n}&=\left(r\left(\cos(t)\right)^{1/n}\right)^{2n}+\left(r\left(\sin(t)\right)^{1/n}\right)^{2n}\\&=r^{2n}\cos^2(t)+r^{2n}\sin^2(t)\\&=r^{2n}\left(\cos^2(t)+\sin^2(t)\right)\\x^{2n}+y^{2n}&=r^{2n}\end{aligned}

Nilai limit untuk masing-masing xdanypada saatn\to\infty adalah sebagai berikut.

\large\text{$\begin{aligned}x&=\lim_{n\to\infty}r\left(\cos(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\cos(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln\left(\cos(t)\right)}\\&=r\cdot e^{\left[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\cos(t)\right)\right]}\\&=r\cdot e^{\left[\ln\left(\cos(t)\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\right]}\\&=r\cdot e^{\left[\ln\left(\cos(t)\right)\cdot0\right]}\\&=r\cdot e^{0}\\\therefore\ x&=r\end{aligned}$}

\large\text{$\begin{aligned}y&=\lim_{n\to\infty}r\left(\sin(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\sin(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln\left(\sin(t)\right)}\\&=r\cdot e^{\left[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\sin(t)\right)\right]}\\&=r\cdot e^{0}\\\therefore\ y&=r\end{aligned}$}

Pada kuadran II di mana x < 0 dan y > 0, cos(t + ½π) = –sin(t)dansin(t + ½π) = cos(t), sehingga

x=-r\left(-\sin(t)\right)^{1/n}.\ y=r\left(\cos(t)\right)^{1/n}

Dengan cara yang serupa cara menghitung limit di atas, nilai limitnya pada saat n\to\infty adalah:

x=-r,\ y=r

Pada kuadran III di mana x < 0 dan y < 0, cos(t + π) = –cos(t)dansin(t + π) = –sin(t), sehingga

x=-r\left(-\cos(t)\right)^{1/n},\ y=-r\left(-\sin(t)\right)^{1/n}

Nilai limitnya pada saat n\to\infty adalah:

x=-r,\ y=-r

Pada kuadran IV di mana x > 0 dan y < 0, cos(t + 3π/2) = sin(t)dansin(t + 3π/2) = –cos(t), sehingga

x=r\left(\sin(t)\right)^{1/n},\ y=-r\left(-\cos(t)\right)^{1/n}

Nilai limitnya pada saat n\to\infty adalah:

x=r,\ y=-r

Jadi, pada saat n\to \infty, x = \pm rdany = \pm r. Keempat persamaan tersebut adalah persamaan garis lurus, yang berpotongan pada 4 titik, yaitu

(r, r),\ (-r, r),\ (-r, -r),\ (r, -r)

sehingga terbentuk empat ruas garis yang sama panjang yaitu sepanjang 2ryangmembentuk sebuah persegi.

∴ Dengan demikian, pada saat n → ∞, persamaan x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ membentuk bangun datar persegi.
Dengan n ≥ 1, kita dapat membayangkan perubahan bangun datar yang terbentuk dari persamaan persamaan x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ sebagai perubahan secara berangsur-angsur dari lingkaran menuju persegi.
\blacksquare

Pada saat n → ∞, persamaan x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ membentuk persegi. Penjelasan dengan langkah-langkah:Kita coba analisis dengan persamaan parametrik.Ambil [tex]x=r\left(\cos(t)\right)^{1/n}[/tex] dan [tex]y=r\left(\sin(t)\right)^{1/n}[/tex] dengan [tex]t[/tex] pada kuadran I, sehingga memenuhi[tex]\begin{aligned}x^{2n}+y^{2n}&=\left(r\left(\cos(t)\right)^{1/n}\right)^{2n}+\left(r\left(\sin(t)\right)^{1/n}\right)^{2n}\\&=r^{2n}\cos^2(t)+r^{2n}\sin^2(t)\\&=r^{2n}\left(\cos^2(t)+\sin^2(t)\right)\\x^{2n}+y^{2n}&=r^{2n}\end{aligned}[/tex]Nilai limit untuk masing-masing [tex]x[/tex] dan [tex]y[/tex] pada saat [tex]n\to\infty[/tex] adalah sebagai berikut.[tex]\large\text{$\begin{aligned}x&=\lim_{n\to\infty}r\left(\cos(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\cos(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln\left(\cos(t)\right)}\\&=r\cdot e^{\left[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\cos(t)\right)\right]}\\&=r\cdot e^{\left[\ln\left(\cos(t)\right)\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\right]}\\&=r\cdot e^{\left[\ln\left(\cos(t)\right)\cdot0\right]}\\&=r\cdot e^{0}\\\therefore\ x&=r\end{aligned}$}[/tex][tex]\large\text{$\begin{aligned}y&=\lim_{n\to\infty}r\left(\sin(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}\left(\sin(t)\right)^{1/n}\\&=r\cdot\lim_{n\to\infty}e^{\frac{1}{n}\ln\left(\sin(t)\right)}\\&=r\cdot e^{\left[\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}\ln\left(\sin(t)\right)\right]}\\&=r\cdot e^{0}\\\therefore\ y&=r\end{aligned}$}[/tex]Pada kuadran II di mana x < 0 dan y > 0, cos(t + ½π) = –sin(t) dan sin(t + ½π) = cos(t), sehingga [tex]x=-r\left(-\sin(t)\right)^{1/n}.\ y=r\left(\cos(t)\right)^{1/n}[/tex]Dengan cara yang serupa cara menghitung limit di atas, nilai limitnya pada saat [tex]n\to\infty[/tex] adalah:[tex]x=-r,\ y=r[/tex]Pada kuadran III di mana x < 0 dan y < 0, cos(t + π) = –cos(t) dan sin(t + π) = –sin(t), sehingga[tex]x=-r\left(-\cos(t)\right)^{1/n},\ y=-r\left(-\sin(t)\right)^{1/n}[/tex]Nilai limitnya pada saat [tex]n\to\infty[/tex] adalah:[tex]x=-r,\ y=-r[/tex]Pada kuadran IV di mana x > 0 dan y < 0, cos(t + 3π/2) = sin(t) dan sin(t + 3π/2) = –cos(t), sehingga[tex]x=r\left(\sin(t)\right)^{1/n},\ y=-r\left(-\cos(t)\right)^{1/n}[/tex]Nilai limitnya pada saat [tex]n\to\infty[/tex] adalah:[tex]x=r,\ y=-r[/tex]Jadi, pada saat [tex]n\to \infty[/tex], [tex]x = \pm r[/tex] dan [tex]y = \pm r[/tex]. Keempat persamaan tersebut adalah persamaan garis lurus, yang berpotongan pada 4 titik, yaitu[tex](r, r),\ (-r, r),\ (-r, -r),\ (r, -r)[/tex]sehingga terbentuk empat ruas garis yang sama panjang yaitu sepanjang [tex]2r[/tex] yang membentuk sebuah persegi.∴ Dengan demikian, pada saat n → ∞, persamaan x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ membentuk bangun datar persegi. Dengan n ≥ 1, kita dapat membayangkan perubahan bangun datar yang terbentuk dari persamaan persamaan x²ⁿ + y²ⁿ = r²ⁿ sebagai perubahan secara berangsur-angsur dari lingkaran menuju persegi.[tex]\blacksquare[/tex]

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 08 Mar 23
<< Previous Post
Next Post >>