Jika polinomial x⁴ - 2x³ + ax + b dibagi

Berikut ini adalah pertanyaan dari anisafitriani921 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika polinomial x⁴ - 2x³ + ax + b dibagi oleh (x² - 4) bersisa (4x - 3), nilai a + b adalah...a. 18
b. 12
c. 8
d. -4
e. -7

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika polinomial x⁴ – 2x³ + ax + b dibagi oleh (x² – 4) bersisa (4x – 3), nilai a + b adalah –7.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Polinomial

Diberikan polinomial $P(x)=x^4-2x^3+ax+b$ , dan $P(x)$ dibagi oleh $(x^2-4)$ bersisa $(4x-3)$ , sehingga dapat dituliskan:
$\begin{aligned}P(x)&=\left(x^2-4\right)H(x)+4x-3\end{aligned}$

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari $x^2-4=0$ , maka $P(\alpha)=4\alpha-3$ dan $P(\beta)=4\beta-3$ .

Akar-akar dari $x^2-4=0$ adalah $\alpha=2$ dan $\beta=-2$ .

Untuk $x=\alpha=2$ :

$\begin{aligned}P(\alpha)&=4\alpha-3\\\alpha^4-2\alpha^3+\alpha a+b&=4\alpha-3\\2^4-2\left(2^3\right)+2a+b&=4\cdot2-3\\\cancel{2^4}-\cancel{2^4}+2a+b&=8-3\\2a+b&=5\quad...(i)\end{aligned}$

Untuk $x=\beta=-2$ :

$\begin{aligned}P(\beta)&=4\beta-3\\\beta^4-2\beta^3+\beta a+b&=4\beta-3\\(-2)^4-2\left((-2)^3\right)+(-2)a+b&=4\cdot(-2)-3\\2^4+2^4-2a+b&=-8-3\\32-2a+b&=-11\\-2a+b&=-11-32\\-2a+b&=-43\quad...(ii)\end{aligned}$

Kemudian, kita kurangkan atau jumlahkan persamaan (i) dan (ii).

$\begin{aligned}2a+\cancel{b}&=\ \ \ \ 5\\-2a+\cancel{b}&=-43\\\textsf{-----------}&\textsf{-----------}\ -\\4a&=48\\\Rightarrow a&=\bf12\end{aligned}$

Dari nilai $a$ ini, kita sudah tahu bahwa:

$\begin{aligned}a+b&=2a+b-a\\&=5-12\\\therefore\ a+b&=\boxed{\bf-7}\end{aligned}$

Jika masih mau mencari nilai $b$ , kita substitusi saja, atau jumlahkan persamaan (i) dan (ii).

Dengan substitusi pada persamaan (i):

$\begin{aligned}2a+b&=5\\b&=5-2a\\&=5-24\\b&=\bf-19\\\Rightarrow a+b&=12+(-19)\\\therefore\ a+b&=\boxed{\bf-7}\end{aligned}$

Dengan substitusi pada persamaan (ii):

$\begin{aligned}-2a+b&=-43\\b&=-43+2a\\&=-43+24\\b&=\bf-19\\\Rightarrow a+b&=12+(-19)\\\therefore\ a+b&=\boxed{\bf-7}\end{aligned}$

Dengan menjumlahkan persamaan (i) dan (ii):

$\begin{aligned}\cancel{2a}+b&=\ \ \ \ 5\\\cancel{-2a}+b&=-43\\\textsf{-----------}&\textsf{-----------}\ +\\2b&=-38\\b&=\bf-19\\\Rightarrow a+b&=12+(-19)\\\therefore\ a+b&=\boxed{\bf-7}\end{aligned}$

Untuk lebih meyakinkan lagi, kita substitusi nilai $a$ dan $b$ pada polinomial, dan faktorkan.

$\begin{aligned}P(x)&=x^4-2x^3+ax+b\\P(x)&=x^4-2x^3+12x-19\\&=x^2\left(x^2-4\right)+4x^2-2x^3+12x-19\\&=x^2\left(x^2-4\right)-2x^3+4x^2+12x-19\\&=x^2\left(x^2-4\right)-2x\left(x^2-4\right)-8x+4x^2+12x-19\\&=x^2\left(x^2-4\right)-2x\left(x^2-4\right)+4x^2+4x-19\\&=x^2\left(x^2-4\right)-2x\left(x^2-4\right)+4\left(x^2-4\right)+16+4x-19\\&=x^2\left(x^2-4\right)-2x\left(x^2-4\right)+4\left(x^2-4\right)+4x-3\end{aligned}$
$\begin{aligned}P(x)&=\left(x^2-4\right)\underbrace{\left(x^2-2x+4\right)}_{\sf hasil\ bagi}+\underbrace{4x-3}_{\sf sisa}\end{aligned}$