n³ + 2n habis dibagi 3 untuk setiap n ∈ ℕ terbukti benardari pembuktian denganinduksi matematika.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Catatan:
Pada soal, tidak jelas n ∈ .... Maka, diasumsikan bahwa n ∈ ℕ (n bilangan asli).

Kita akan membuktikan dengan induksi matematika bahwa n³ + 2n habis dibagi 3 untuk setiap n ∈ ℕ.

Langkah-langkah Pembuktian

Langkah 1: BASIS INDUKSI

Untuk n = 1, 1³ + 2 habis dibagi 3 merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 2: ASUMSI/HIPOTESIS

Diandaikan untuk n = k dengan k ∈ ℕ, k³ + 2k habis dibagi 3 merupakan pernyataan yang benar.

Langkah 3: LANGKAH INDUKSI

Dari asumsi/hipotesis tersebut, harus dapat dibuktikan/ditunjukkan bahwa untuk n = k + 1, (k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3.

(k + 1)³ + 2(k + 1)
= (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
= (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)
= (k³ + 2k) + 3(k² + k + 1)

• Dari asumsi/hipotesis, k³ + 2k habis dibagi 3.
  ⇒ k³ + 2k = 3p dengan p ∈ ℕ
• Karena k ∈ ℕ, maka 3(k² + k + 1) habis dibagi 3.
  ⇒ 3(k² + k + 1) = 3q dengan q ∈ ℕ.

= 3p + 3q
= 3(p + q)

Karena {p, q} ∈ ℕ, maka 3(p + q) habis dibagi 3, sehingga dari langkah induksi dapat disimpulkan bahwa untuk n = k + 1, (k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3.

KESIMPULAN AKHIR

∴ Karena basis induksi dengan n = 1 menunjukkan bahwa n³ + 2n habis dibagi 3, dan dengan asumsi/hipotesis untuk sembarang n = k yaitu k³ + 2k habis dibagi 3, telah dapat ditunjukkan pada langkah induksi bahwa untuk n = k + 1 pernyataan (k + 1)³ + 2(k + 1) habis dibagi 3 benar, dapat disimpulkan bahwa:
n³ + 2n habis dibagi 3 untuk setiap n ∈ ℕ terbukti benar.