1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

nilai dari lim tak hingga [(2x+3)-√4x²-6x+2]

Berikut ini adalah pertanyaan dari andrianof38 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Nilai dari lim tak hingga [(2x+3)-√4x²-6x+2]

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai dari limit [(2x+3) – √(4x²-6x+2)] untuk x mendekati tak hingga adalah 9/2.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Limit Tak Hingga Bentuk Akar Kuadrat

CARA PERTAMA

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(2x+3-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(2x+3)^2}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+12x+9}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\\end{aligned}

Pada bentuk limit √(ax² + bx + c) – √(px² + qx + r) untuk x mendekati tak hingga, kita punya 3 kemungkinan, yaitu:

  • ∞, jika a > p,
  • (b – q) / (2√a), jika a = p,
  • 0, jika a < p.

Maka, melanjutkan penyelesaian di atas:

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(2x+3-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+12x+9}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&\quad\rightarrow a=p=4,\ b=12,\ q=-6\\&{=\ }\frac{12-(-6)}{2\sqrt{4}}\\&{=\ }\frac{18}{4}\,=\:\boxed{\,\bf\frac{9}{2}\,}\end{aligned}
\blacksquare

CARA KEDUA

Kita juga dapat menyelesaikan dengan cara lan, dengan tetap menggunakan “rumus cepat” di atas.

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(2x+3-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}3+\lim_{x\to\infty}\left(2x-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }3+\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&\quad\rightarrow a=p=4,\ b=0,\ q=-6\\&{=\ }3+\frac{0-(-6)}{2\sqrt{4}}\\&{=\ }3+\frac{6}{4}=3+\frac{3}{2}\,=\:\boxed{\,\bf\frac{9}{2}\,}\end{aligned}
\blacksquare

CARA KETIGA

Cara ketiga ini adalah cara panjang, yang jika digeneralisasi akan memperoleh “rumus cepat” di atas.

Kita gunakan langkah awal seperti cara pertama.

\begin{aligned}&\lim_{x\to\infty}\left(2x+3-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{(2x+3)^2}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{4x^2+12x+9}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left[\left(\sqrt{4x^2+12x+9}-\sqrt{4x^2-6x+2}\right)\left(\frac{\sqrt{4x^2+12x+9}+\sqrt{4x^2-6x+2}}{\sqrt{4x^2+12x+9}+\sqrt{4x^2-6x+2}}\right)\right]\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{4x^2+12x+9-\left(4x^2-6x+2\right)}{\sqrt{4x^2+12x+9}+\sqrt{4x^2-6x+2}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{18x+7}{\sqrt{4x^2+12x+9}+\sqrt{4x^2-6x+2}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\left(\frac{18x+7}{\sqrt{4x^2+12x+9}+\sqrt{4x^2-6x+2}}\times\frac{1/x}{1/x}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{18+\dfrac{7}{x}}{\dfrac{\sqrt{4x^2+12x+9}}{x}+\dfrac{\sqrt{4x^2-6x+2}}{x}}\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{18+\dfrac{7}{x}}{\sqrt{\dfrac{4x^2+12x+9}{x^2}}+\sqrt{\dfrac{4x^2-6x+2}{x^2}}}\\&{=\ }\lim_{x\to\infty}\frac{18+\dfrac{7}{x}}{\sqrt{4+\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^2}}+\sqrt{4-\dfrac{6}{x}+\dfrac{2}{x^2}}}\\&{=\ }\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\left(18+\dfrac{7}{x}\right)}{\sqrt{\lim\limits_{x\to\infty}\left(4+\dfrac{12}{x}+\dfrac{9}{x^2}\right)}+\sqrt{\lim\limits_{x\to\infty}\left(4-\dfrac{6}{x}+\dfrac{2}{x^2}\right)}}\\\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{18+0}{\sqrt{4+0+0}+\sqrt{4+0+0}}\\&{=\ }\frac{18}{2+2}=\frac{18}{4}\,=\:\boxed{\,\bf\frac{9}{2}\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Thu, 20 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>