Kuis ⁽⁶⁴⁾Waktunya [HOTS]Anton ingin membuat miniaturlimas segitiga seperti pada gambar.Rangkanya

Berikut ini adalah pertanyaan dari xcvi pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kuis ⁽⁶⁴⁾Waktunya [HOTS]
Anton ingin membuat miniatur
limas segitiga seperti pada gambar.

Rangkanya terbuat dari kayu
(warna coklat) dan permukaan luar dr
limas segitiga ditutupi kain membran
(warna abu-abu) Lalu miniatur itu
diisi dengan tanah liat.

Jika harga kayu Rp. 5.500/meter,
harga kain membran Rp. 94.000/m²,
dan harga tanah liat Rp. 200.000/m³,

buktikan jika anggaran yang harus
disediakan Anton adalah sebanyak
Rp. 2.746.200,-

Kalau ngasal, saya report.

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi).
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Anggap alas limas segitiga tersebut adalah ΔABC yang siku-siku di ∠A.

AB = (2 × 150) cm = 3 m
AC = (2 × 2) m = 4 m
BC = 5 m, dari tripel Pythagoras (3, 4, 5).

Sehingga:

Luas ΔABC = ½ × 3 × 4 = 6 m², dan
Volume limas = (1/3) × 6 × 2 = 4 m³.

Anggap titik puncak limas segitiga tersebut adalah T. Misalkan dinyatakan dalam sistem koordinat 3 dimensi dengan satu satuan koordinat mewakili 1 meter, kita dapat nyatakan ketiga titik pada alas limas dengan:
A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), dan C(0, 4, 0)

Misalkan titik pusat ΔABC dinyatakan oleh P. Vektor posisi titik pusat ΔABC adalah:

$\begin{aligned}\overrightarrow{OP}&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\\&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\quad\because A=O\\&=\frac{1}{3}\left[\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\right]\\&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\\\overrightarrow{OP}&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\0\end{pmatrix}\end{aligned}$
⇒ P(1, 4/3, 0)

Oleh karena itu, koordinat titik puncak limas adalah:
T(1, 4/3, 2).

Karena A(0, 0, 0), maka sudah jelas bahwa panjang AT:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+16+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{61}\ {\rm m}\end{aligned}$

Kemudian:

$\begin{aligned}\overrightarrow{BT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OB}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\\4/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}$

sehingga panjang BT:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\sqrt[3]{(-2)^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{4+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{16+72}{9}}\\\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{88}\ {\rm m}=\frac{2}{3}\sqrt{22}\ {\rm m}\end{aligned}$

Lalu:

$\begin{aligned}\overrightarrow{CT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OC}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\\-8/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}$

sehingga panjang CT:

$\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{(-8)^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{64}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+64+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{109}\ {\rm m}\end{aligned}$

Menghitung Luas Selimut Limas

$\begin{aligned}L_{ABT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 3&0&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|4\hat{k}-6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(4+9)}\\L_{ABT}&=\sqrt{13}\ {\rm m^2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}L_{BCT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ -3&4&0\\ -2&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}+8\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}+4\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(16+4+9)}\\L_{BCT}&=\sqrt{29}\ {\rm m^2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}L_{ACT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 0&4&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16(4+1)}\\L_{ACT}&=2\sqrt{5}\ {\rm m^2}\end{aligned}$

Biaya Pembelian Kayu
B1 = jumlah panjang rusuk × harga kayu/m
= (AB + BC + AC + AT + BT + CT) × 5.500
= [3 + 4 + 5 + (1/3)√61 + (2/3)√22 + (1/3)√109] × 5.500
= (12)(5.500) + (1/3)(√61 + 2√22 + √109)(5.500)
≈ 66.000 + (1/3)(7,8 + 9,4 + 10,4)(5.500)
≈ 66.000 + (1/3)(27,6)(5.500)
≈ 66.000 + (9)(5.500) + (0,2)(5.500)
≈ 66.000 + 49.500 + 1.100
≈ Rp116.600,-

Biaya Pembelian Kain Membran
B2 = jumlah luas permukaan × harga kain membran/m²
= (LΔABC + LΔABT + LΔBCT + LΔACT) × 94.000
= (6 + √13 + √29 + 2√5) × 94.000
= (6)(94.000) + (√13 + √29 + 2√5)(94.000)
≈ 564.000 + (3,6 + 5,4 + 4,5)(94.000)
≈ 564.000 + (13,5)(94.000)
≈ 564.000 + 1.269.000
≈ Rp1.833.000,-

Biaya Pembelian Tanah Liat
B3 = volume × harga tanah liat/m³
= 4 × 200.000
= Rp800.000,-

TOTAL ANGGARAN
B = B1 + B2 + B3
≈ Rp116.600,- + Rp1.833.000,- + Rp800.000,-
≈ Rp1.949.600,- + Rp800.000,-
≈ Rp2.749.600,-
(Hasil ini Rp3.400,- lebihnya dari anggaran yang dinyatakan pada soal.)

KESIMPULAN

Dengan demikian:
Telah terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi).
$\blacksquare$

$Terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi). Penjelasan dengan langkah-langkah:Anggap alas limas segitiga tersebut adalah ΔABC yang siku-siku di ∠A.AB = (2 × 150) cm = 3 mAC = (2 × 2) m = 4 mBC = 5 m, dari tripel Pythagoras (3, 4, 5).Sehingga:Luas ΔABC = ½ × 3 × 4 = 6 m², dan Volume limas = (1/3) × 6 × 2 = 4 m³.Anggap titik puncak limas segitiga tersebut adalah T. Misalkan dinyatakan dalam sistem koordinat 3 dimensi dengan satu satuan koordinat mewakili 1 meter, kita dapat nyatakan ketiga titik pada alas limas dengan:A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), dan C(0, 4, 0)Misalkan titik pusat ΔABC dinyatakan oleh P. Vektor posisi titik pusat ΔABC adalah:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OP}&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\\&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\quad\because A=O\\&=\frac{1}{3}\left[\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\right]\\&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\\\overrightarrow{OP}&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\0\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]⇒ P(1, 4/3, 0)Oleh karena itu, koordinat titik puncak limas adalah:T(1, 4/3, 2).Karena A(0, 0, 0), maka sudah jelas bahwa panjang AT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+16+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{61}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Kemudian:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{BT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OB}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\\4/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]sehingga panjang BT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\sqrt[3]{(-2)^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{4+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{16+72}{9}}\\\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{88}\ {\rm m}=\frac{2}{3}\sqrt{22}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Lalu:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{CT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OC}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\\-8/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]sehingga panjang CT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{(-8)^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{64}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+64+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{109}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Menghitung Luas Selimut Limas[tex]\begin{aligned}L_{ABT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 3&0&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|4\hat{k}-6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(4+9)}\\L_{ABT}&=\sqrt{13}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L_{BCT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ -3&4&0\\ -2&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}+8\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}+4\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(16+4+9)}\\L_{BCT}&=\sqrt{29}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L_{ACT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 0&4&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16(4+1)}\\L_{ACT}&=2\sqrt{5}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex]Biaya Pembelian KayuB1 = jumlah panjang rusuk × harga kayu/m= (AB + BC + AC + AT + BT + CT) × 5.500= [3 + 4 + 5 + (1/3)√61 + (2/3)√22 + (1/3)√109] × 5.500= (12)(5.500) + (1/3)(√61 + 2√22 + √109)(5.500)≈ 66.000 + (1/3)(7,8 + 9,4 + 10,4)(5.500)≈ 66.000 + (1/3)(27,6)(5.500)≈ 66.000 + (9)(5.500) + (0,2)(5.500)≈ 66.000 + 49.500 + 1.100≈ Rp116.600,-Biaya Pembelian Kain MembranB2 = jumlah luas permukaan × harga kain membran/m²= (LΔABC + LΔABT + LΔBCT + LΔACT) × 94.000= (6 + √13 + √29 + 2√5) × 94.000= (6)(94.000) + (√13 + √29 + 2√5)(94.000)≈ 564.000 + (3,6 + 5,4 + 4,5)(94.000)≈ 564.000 + (13,5)(94.000)≈ 564.000 + 1.269.000≈ Rp1.833.000,-Biaya Pembelian Tanah LiatB3 = volume × harga tanah liat/m³= 4 × 200.000 = Rp800.000,-TOTAL ANGGARANB = B1 + B2 + B3≈ Rp116.600,- + Rp1.833.000,- + Rp800.000,-≈ Rp1.949.600,- + Rp800.000,-≈ Rp2.749.600,-(Hasil ini Rp3.400,- lebihnya dari anggaran yang dinyatakan pada soal.)KESIMPULANDengan demikian:Telah terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi).[tex]\blacksquare[/tex]$ $Terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi). Penjelasan dengan langkah-langkah:Anggap alas limas segitiga tersebut adalah ΔABC yang siku-siku di ∠A.AB = (2 × 150) cm = 3 mAC = (2 × 2) m = 4 mBC = 5 m, dari tripel Pythagoras (3, 4, 5).Sehingga:Luas ΔABC = ½ × 3 × 4 = 6 m², dan Volume limas = (1/3) × 6 × 2 = 4 m³.Anggap titik puncak limas segitiga tersebut adalah T. Misalkan dinyatakan dalam sistem koordinat 3 dimensi dengan satu satuan koordinat mewakili 1 meter, kita dapat nyatakan ketiga titik pada alas limas dengan:A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), dan C(0, 4, 0)Misalkan titik pusat ΔABC dinyatakan oleh P. Vektor posisi titik pusat ΔABC adalah:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OP}&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\\&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\quad\because A=O\\&=\frac{1}{3}\left[\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\right]\\&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\\\overrightarrow{OP}&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\0\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]⇒ P(1, 4/3, 0)Oleh karena itu, koordinat titik puncak limas adalah:T(1, 4/3, 2).Karena A(0, 0, 0), maka sudah jelas bahwa panjang AT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+16+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{61}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Kemudian:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{BT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OB}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\\4/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]sehingga panjang BT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\sqrt[3]{(-2)^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{4+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{16+72}{9}}\\\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{88}\ {\rm m}=\frac{2}{3}\sqrt{22}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Lalu:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{CT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OC}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\\-8/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]sehingga panjang CT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{(-8)^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{64}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+64+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{109}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Menghitung Luas Selimut Limas[tex]\begin{aligned}L_{ABT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 3&0&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|4\hat{k}-6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(4+9)}\\L_{ABT}&=\sqrt{13}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L_{BCT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ -3&4&0\\ -2&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}+8\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}+4\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(16+4+9)}\\L_{BCT}&=\sqrt{29}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L_{ACT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 0&4&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16(4+1)}\\L_{ACT}&=2\sqrt{5}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex]Biaya Pembelian KayuB1 = jumlah panjang rusuk × harga kayu/m= (AB + BC + AC + AT + BT + CT) × 5.500= [3 + 4 + 5 + (1/3)√61 + (2/3)√22 + (1/3)√109] × 5.500= (12)(5.500) + (1/3)(√61 + 2√22 + √109)(5.500)≈ 66.000 + (1/3)(7,8 + 9,4 + 10,4)(5.500)≈ 66.000 + (1/3)(27,6)(5.500)≈ 66.000 + (9)(5.500) + (0,2)(5.500)≈ 66.000 + 49.500 + 1.100≈ Rp116.600,-Biaya Pembelian Kain MembranB2 = jumlah luas permukaan × harga kain membran/m²= (LΔABC + LΔABT + LΔBCT + LΔACT) × 94.000= (6 + √13 + √29 + 2√5) × 94.000= (6)(94.000) + (√13 + √29 + 2√5)(94.000)≈ 564.000 + (3,6 + 5,4 + 4,5)(94.000)≈ 564.000 + (13,5)(94.000)≈ 564.000 + 1.269.000≈ Rp1.833.000,-Biaya Pembelian Tanah LiatB3 = volume × harga tanah liat/m³= 4 × 200.000 = Rp800.000,-TOTAL ANGGARANB = B1 + B2 + B3≈ Rp116.600,- + Rp1.833.000,- + Rp800.000,-≈ Rp1.949.600,- + Rp800.000,-≈ Rp2.749.600,-(Hasil ini Rp3.400,- lebihnya dari anggaran yang dinyatakan pada soal.)KESIMPULANDengan demikian:Telah terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi).[tex]\blacksquare[/tex]$ $Terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi). Penjelasan dengan langkah-langkah:Anggap alas limas segitiga tersebut adalah ΔABC yang siku-siku di ∠A.AB = (2 × 150) cm = 3 mAC = (2 × 2) m = 4 mBC = 5 m, dari tripel Pythagoras (3, 4, 5).Sehingga:Luas ΔABC = ½ × 3 × 4 = 6 m², dan Volume limas = (1/3) × 6 × 2 = 4 m³.Anggap titik puncak limas segitiga tersebut adalah T. Misalkan dinyatakan dalam sistem koordinat 3 dimensi dengan satu satuan koordinat mewakili 1 meter, kita dapat nyatakan ketiga titik pada alas limas dengan:A(0, 0, 0), B(3, 0, 0), dan C(0, 4, 0)Misalkan titik pusat ΔABC dinyatakan oleh P. Vektor posisi titik pusat ΔABC adalah:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{OP}&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\\&=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right]\quad\because A=O\\&=\frac{1}{3}\left[\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\right]\\&=\frac{1}{3}\begin{pmatrix}3\\4\\0\end{pmatrix}\\\overrightarrow{OP}&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\0\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]⇒ P(1, 4/3, 0)Oleh karena itu, koordinat titik puncak limas adalah:T(1, 4/3, 2).Karena A(0, 0, 0), maka sudah jelas bahwa panjang AT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+16+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{AT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{61}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Kemudian:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{BT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OB}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}3\\0\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}-2\\4/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]sehingga panjang BT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\sqrt[3]{(-2)^2+\frac{4^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{4+\frac{16}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{16+72}{9}}\\\left|\overrightarrow{BT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{88}\ {\rm m}=\frac{2}{3}\sqrt{22}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Lalu:[tex]\begin{aligned}\overrightarrow{CT}&=\overrightarrow{OT}-\overrightarrow{OC}\\&=\begin{pmatrix}1\\4/3\\2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}1\\-8/3\\2\end{pmatrix}\end{aligned}[/tex]sehingga panjang CT:[tex]\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\sqrt[3]{1^2+\frac{(-8)^2}{3^2}+2^2}\\&=\sqrt[3]{1+\frac{64}{9}+4}\\&=\sqrt[3]{\frac{9+64+36}{9}}\\\left|\overrightarrow{CT}\right|&=\frac{1}{3}\sqrt{109}\ {\rm m}\end{aligned}[/tex]Menghitung Luas Selimut Limas[tex]\begin{aligned}L_{ABT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 3&0&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|4\hat{k}-6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(4+9)}\\L_{ABT}&=\sqrt{13}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L_{BCT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ -3&4&0\\ -2&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}+8\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}+4\hat{k}+6\hat{j}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16+36}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{4(16+4+9)}\\L_{BCT}&=\sqrt{29}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L_{ACT}&=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AT}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|\begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ 0&4&0\\ 1&4/3&2\end{vmatrix}\right|\\&=\frac{1}{2}\left|8\hat{i}-4\hat{k}\right|\\&=\frac{1}{2}\sqrt{64+16}\\&=\frac{1}{2}\sqrt{16(4+1)}\\L_{ACT}&=2\sqrt{5}\ {\rm m^2}\end{aligned}[/tex]Biaya Pembelian KayuB1 = jumlah panjang rusuk × harga kayu/m= (AB + BC + AC + AT + BT + CT) × 5.500= [3 + 4 + 5 + (1/3)√61 + (2/3)√22 + (1/3)√109] × 5.500= (12)(5.500) + (1/3)(√61 + 2√22 + √109)(5.500)≈ 66.000 + (1/3)(7,8 + 9,4 + 10,4)(5.500)≈ 66.000 + (1/3)(27,6)(5.500)≈ 66.000 + (9)(5.500) + (0,2)(5.500)≈ 66.000 + 49.500 + 1.100≈ Rp116.600,-Biaya Pembelian Kain MembranB2 = jumlah luas permukaan × harga kain membran/m²= (LΔABC + LΔABT + LΔBCT + LΔACT) × 94.000= (6 + √13 + √29 + 2√5) × 94.000= (6)(94.000) + (√13 + √29 + 2√5)(94.000)≈ 564.000 + (3,6 + 5,4 + 4,5)(94.000)≈ 564.000 + (13,5)(94.000)≈ 564.000 + 1.269.000≈ Rp1.833.000,-Biaya Pembelian Tanah LiatB3 = volume × harga tanah liat/m³= 4 × 200.000 = Rp800.000,-TOTAL ANGGARANB = B1 + B2 + B3≈ Rp116.600,- + Rp1.833.000,- + Rp800.000,-≈ Rp1.949.600,- + Rp800.000,-≈ Rp2.749.600,-(Hasil ini Rp3.400,- lebihnya dari anggaran yang dinyatakan pada soal.)KESIMPULANDengan demikian:Telah terbukti bahwa anggaran yang harus disediakan Anton adalah sebanyak Rp2.746.200,- (dengan margin +Rp3.400,- dari kalkulasi).[tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 09 Apr 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Kuis ⁽⁶⁴⁾Waktunya [HOTS]Anton ingin membuat miniaturlimas segitiga seperti pada gambar.Rangkanya

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan dengan langkah-langkah:

KESIMPULAN

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika