tolongdikerjakan sesuai perintah

Berikut ini adalah pertanyaan dari ahmadwijaya79p5irok pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong
dikerjakan sesuai perintah
tolongdikerjakan sesuai perintah

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawaban:

$\sf{1. \:\frac{1}{3}(x^2+3)^6+C }$

$\sf{2. \: \frac{3}{8} (2x+1)^4[x- \frac{(2x+1)}{10}] +C}$

$\sf{3. \:\frac{2x}{3}\sin{3x}+ \frac{2}{9}\cos{3x} + C}$

Penjelasan dengan langkah-langkah:

______________________________

Soal Pertama (Substitusi)

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 4x(x^2+3)^5dx=... }$

Misalkan:

$\sf{u=x^2+3 }$

$\sf{\frac{du}{dx}=2x\:\:\:\:\:\longrightarrow\:\:\:\:\:dx=\frac{du}{2x} }$

Maka:

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 4x(x^2+3)^5dx }$

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 4x(u)^5\frac{du}{2x} }$

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 4\cancel{x}(u)^5\frac{du}{2\cancel{x}} }$

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 2u^5du }$

$\sf{\:\:\:\:\:\frac{2}{5+1} u^{5+1}+C }$

$\therefore \sf{\:\:\:\:\:\boxed{\sf{\frac{1}{3}(x^2+3)^6+C }}}$

______________________________

Soal Kedua (Parsial)

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 3x(2x+1)^3dx=... }$

Misalkan:

$\sf{u=3x \:\:\:\:\: \longrightarrow \:\:\:\:\:\frac{du}{dx}=3 }$

$\sf{dv = (2x+1)^3 dx }$

$\sf{\\\int dv = \\\int (2x+1)^3 dx \:\:\:\:\: \rightarrow \:\:\:\:\: v = \frac{1}{8}(2x+1)^4 }$

Rumus integral parsial:

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int u\:dv=uv-\\\int vdu }$

Maka:

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 3x(2x+1)^3dx=... }$

$\sf{\:\:\:\:\: 3x(\frac{1}{8} (2x+1)^4)- \\\int \frac{1}{8}(2x+1)^4 (3dx) }$

$\sf{\:\:\:\:\:\frac{3x}{8}(2x+1)^4-\\\int \frac{3}{8}(2x+1)^4dx }$

$\sf{\:\:\:\:\:\frac{3x}{8}(2x+1)^4-[(\frac{3}{8}) \frac{(2x+1)^{(4+1)}}{(4+1)} (\frac{1}{2}) ] }$

$\sf{\:\:\:\:\:\frac{3x}{8}(2x+1)^4-(\frac{3}{80}(2x+1)^{5} ) }$

$\therefore\sf{\:\:\:\:\: \boxed{\sf{\frac{3}{8} (2x+1)^4[x- \frac{(2x+1)}{10}] +C}} }$

______________________________

Soal Ketiga (Parsial)

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 2x\cos{3x}dx=... }$

Agar lebih gampang dan cepat, maka kali ini akan menggunakan metode Tanzalin untuk mendapatkan hasil dari integral parsial. Cara ini bisa dilakukan jika turunan untuk x ada dan dapat menjadi nol apabila diturunkan lebih lanjut.

Integral pada soal dibagi menjadi dua yaitu nilai 2x dan $\sf{\cos{3x}. }$ Karena 2x dapat diturunkan dan bisa menjadi nol, maka nilai tersebut kita tetapkan sebagai nilai yang akan diturunkan dan $\sf{\cos{3x}}$ akan diintegrasikan. Hasilnya akan seperti berikut:

$\sf{\:\:\:\:\:\begin{bmatrix}\Large{\sf{Turunan}}\\\\2x\\\\2\\\\ 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\Large{\sf{Integral}}\\\\\cos{3x}\\\\\frac{1}{3}\sin{3x}\\\\-\frac{1}{9}\cos{3x}\end{bmatrix} }$

Nah, sekarang waktunya mengalikan antara turunan baris 1 dan integral baris 2, lanjut ditambah turunan baris 2 dengan integral baris 3. Untuk tandanya diatur secara berseling plus-min-plus-min yang dimulai dari baris kedua, maka:

$\sf{\:\:\:\:\:\\\int 2x\cos{3x}dx=... }$

$\sf{\:\:\:\:\:2x(\frac{1}{3} \sin{3x})-2(- \frac{1}{9}\cos{3x}) + C}$