Bilangan bulat positif terbesar N yang mengakibatkan 2 ^ 50

Berikut ini adalah pertanyaan dari kudaseeyamed pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Bilangan bulat positif terbesar N yang mengakibatkan 2 ^ 50 + 4 ^ 1050 + 16 ^ N merupakan bilangan kuadrat adalah...

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Bilangan bulat positif terbesar $N$ yang mengakibatkan $2^{50}+4^{1050}+16^{N}$ merupakan bilangan kuadrat adalah1037.
 

Pembahasan

Kita akan mencoba menemukan bilangan bulat positif terbesar $N$ yang mengakibatkan $2^{50}+4^{1050}+16^{N}$ merupakan bilangan kuadrat.

Dari ketiga bilangan basis, 4 dan 16 adalah bilangan kuadrat, sedangkan 2 bukan bilangan kuadrat. Kita jadikan $2^{50}$ ⇒ $4^{25}$ , dan $16^N$ ⇒ $4^{2N}$ .

$\large\text{$\begin{aligned}&2^{50}+4^{1050}+16^{N}\\&=4^{25}+4^{1050}+4^{2N}\\\end{aligned}$}$

Kita tahu bahwa a²/b² = (a/b)², dan pada persoalan ini, kita mengharapkan (a/b) adalah bilangan bulat, sehingga b harus habis membagi a.

Karena kita mencari $N$ terbesar, anggap $4^{25}$ adalah yang paling kecil nilainya (karena kita belum tahu nilai $4^{2N}$ ), dan harus habis membagi $4^{25}+4^{1050}+4^{2N}$ . Hal ini terjadi jika dan hanya jika terdapat $N$ sehingga $4^{25}$ habis membagi $4^{2N}$ . Jadi, variabel b dari (a/b) yang diulas di atas adalah $4^{25}$ .

Maka:

$\large\text{$\begin{aligned}&\frac{4^{25}+4^{1050}+4^{2N}}{4^{25}}\\&=1+4^{1025}+4^{(2N-25)}\\&=4^M+4^{1025}+1\quad...(1)\\&\quad{\sf dengan}\ M=2N-25\\&\quad\Rightarrow N=\frac{M+25}{2}\end{aligned}$}$

$4^M = \left(2^M\right)^2$ , maka kita arahkan bentuk (1) menjadi bentuk $\left(2^M+1\right)^2$ .

$\large\text{$\begin{aligned}\left(2^M+1\right)^2&=4^M+4^{1025}+1\\4^M+2\cdot2^M+1&=4^M+4^{1025}+1\\2\cdot2^M&=4^{1025}\\2\cdot2^M&=2^{2050}\\2^M&=2^{2049}\\\Rightarrow M&=2049\\\Rightarrow N&=\frac{2049+25}{2}\\&=\frac{2074}{2}\\\Rightarrow N&=\bf1037\end{aligned}$}$

Kita periksa dulu.

$\large\text{$\begin{aligned}&2^{50}+4^{1050}+16^{1037}\\&=2^{50}+2^{2100}+2^{4148}\\&=2^{50}\left(1+2^{2050}+2^{4098}\right)\\&=2^{50}\left(1^2+2\cdot2^{2049}+\left(2^{2049}\right)^2\right)\\&=\left(2^{25}\right)^2\left(2^{2049}+1\right)^2\\&=\left(2^{25}\left(2^{2049}+1\right)\right)^2\\&=\left(2^{2074}+2^{25}\right)^2\\&\quad\Rightarrow\sf Bilangan\ kuadrat!\end{aligned}$}$