Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

3. Untuk mencari persamaan garis singgung suatu fungsi di suatu titik, kita perlu mengetahui turunan dari fungsi tersebut di titik tersebut. Oleh karena itu, kita perlu mencari turunan dari fungsi f(x) terlebih dahulu:

f(x) = -x² + 6x - 8

f'(x) = -2x + 6 (turunan dari -x² adalah -2x dan turunan dari 6x adalah 6)

Sekarang kita dapat mencari persamaan garis singgung dari f(x) di x = 5. Untuk itu, kita perlu mengetahui nilai f(5) dan f'(5):

f(5) = -5² + 6(5) - 8 = 7

f'(5) = -2(5) + 6 = -4

Sehingga persamaan garis singgung dari f(x) di x = 5 adalah:

y - f(5) = f'(5)(x - 5)

y - 7 = -4(x - 5)

y - 7 = -4x + 20

y = -4x + 27

Jadi, persamaan garis singgung dari f(x) di x = 5 adalah y = -4x + 27

4. Untuk mencari titik ekstrim dari fungsi f(x) = x³+3x²-9x-1, kita perlu mencari turunan pertama dan kedua dari fungsi tersebut:

f'(x) = 3x² + 6x - 9

f''(x) = 6x + 6

Titik ekstrim terjadi ketika turunan pertama f'(x) = 0, yaitu:

3x² + 6x - 9 = 0

x² + 2x - 3 = 0

(x + 3)(x - 1) = 0

Maka, titik ekstrim terdapat pada x = -3 dan x = 1. Untuk mencari nilai ekstrim, kita perlu memasukkan nilai x tersebut ke dalam fungsi f(x):

f(-3) = (-3)³ + 3(-3)² - 9(-3) - 1 = 25

f(1) = (1)³ + 3(1)² - 9(1) - 1 = -6

Jadi, nilai ekstrim minimum adalah -6 yang terjadi pada x = 1, sedangkan nilai ekstrim maksimum adalah 25 yang terjadi pada x = -3.

Untuk sketsa grafik persamaan tersebut, kita bisa menggunakan titik ekstrim yang telah ditemukan dan mengamati tanda dari turunan pertama dan kedua di antara titik-titik tersebut:

• f''(x) > 0 pada interval (-∞, -1) dan (1, ∞), sehingga f(x) cenderung berbentuk cekung ke atas pada interval tersebut.

• f''(x) < 0 pada interval (-1, 1), sehingga f(x) cenderung berbentuk cekung ke bawah pada interval tersebut.

• f'(x) > 0 pada interval (-∞, -3) dan (1, ∞), sehingga f(x) cenderung naik pada interval tersebut.

• f'(x) < 0 pada interval (-3, 1), sehingga f(x) cenderung turun pada interval tersebut.

5. Untuk mencari turunan dari fungsi implisit , kita dapat menggunakan aturan diferensiasi implisit. Aturan ini mengandalkan pada fakta bahwa turunan dari suatu fungsi implisit terhadap suatu variabel dapat ditemukan dengan men-diferensiasi kedua belah pihak persamaan terhadap variabel tersebut dan kemudian menyelesaikan turunan ini untuk variabel lain.

Pertama, kita akan men-diferensiasi kedua belah pihak persamaan terhadap x:

Maka, kita akan mendapatkan:

Sekarang kita dapat menyederhanakan persamaan tersebut untuk mendapatkan turunan :

2y = 6xy - 3x^2

dy/dx = (3x^2 - 6xy) / (2y)

Jadi, turunan dari fungsi implisit x^3 - 3x^2y + y^2 = 0 terhadap x adalah:

dy/dx = (3x^2 - 6xy) / (2y)