1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

ini apa jawabannya kakk?

Berikut ini adalah pertanyaan dari farelputratama09 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Ini apa jawabannya kakk?
ini apa jawabannya kakk?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jawab:

370

Penjelasan dengan langkah-langkah:

\begin{aligned}\\\frac{1}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2020}} + \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2019}} + \cdots + \frac{1}{\frac{1}{1010} + \frac{1}{1011}} = \frac{2020\cdot1}{2020 + 1} + \frac{2019\cdot2}{2019 + 2} + \cdots + \frac{1011\cdot1010}{1011 + 1010}\\\end{aligned}

Perhatikan bahwa denominator / penyebut semuanya berjumlah 2021

\begin{aligned}\frac{2020\cdot1}{2020 + 1} + \frac{2019\cdot2}{2019 + 2} + \cdots + \frac{1011\cdot1010}{1011 + 1010} = \frac{1}{2021}\cdot(2020\cdot1 + 2019\cdot2 + \cdots + 1011\cdot1010)\\\end{aligned}

Untuk melakukan kalkulasi nilai penjumlahan tersebut, sederhanakan dan gunakan jumlah deret aritmatika & sum of squares seperti berikut

\begin{aligned}\\\frac{1}{2021}\cdot(2020\cdot1 + 2019\cdot2 + \cdots + 1011\cdot1010) = \frac{1}{2021}\cdot\sum_{i=1}^{1010} i (2021-i)\\\end{aligned}

\begin{aligned}\frac{1}{2021}\cdot\sum_{i=1}^{1010} i (2021-i)& = \frac{1}{2021}\cdot\sum_{i=1}^{1010} 2021i-i^2\\& = \frac{1}{2021}\cdot \left[ \sum_{i=1}^{1010} 2021i-\sum_{i=1}^{1010}i^2 \right]\\& = \frac{1}{2021}\cdot \left[ 2021\sum_{i=1}^{1010} i-\sum_{i=1}^{1010}i^2 \right]\\& = \frac{1}{2021}\cdot \left[ 2021\cdot \frac{1010(1010+1)}{2}-\frac{1010(1010+1)(2\cdot1010+1)}{6} \right]\\\end{aligned}

Dan dari persamaan terakhir dapat didapatkan nilai N, perhatikan bahwa 1011 dapat dibagi 3 (jumlah digit habis dibagi 3)

\begin{aligned}\\\frac{1}{2021}\cdot \left[ \frac{2021\cdot1010\cdot1011}{2}-\frac{1010\cdot1011\cdot2021}{6} \right] & = 1010\cdot1011\left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right]\\& = 1010\cdot1011 \cdot \frac{1}{3}\\& = 1010\cdot337\end{aligned}

Akhirnya, dapat ditentukan 3 digit awal dari N

\begin{aligned}\\1010 \cdot 337 & \equiv 10 \cdot 337 & \mod{1000}\\& \equiv 3370 & \mod{1000}\\& \equiv 370 & \mod{1000}\\\end{aligned}

Sehingga dapat disimpulkan

N \equiv 370 \mod 1000

Terlampir snippet python untuk sanity check. Hasil sum(s) memiliki floating point rounding error tetapi hasil 3 digit pertama seharusnya sama.

Jawab:370Penjelasan dengan langkah-langkah:[tex]\begin{aligned}\\\frac{1}{\frac{1}{1} + \frac{1}{2020}} + \frac{1}{\frac{1}{2} + \frac{1}{2019}} + \cdots + \frac{1}{\frac{1}{1010} + \frac{1}{1011}} = \frac{2020\cdot1}{2020 + 1} + \frac{2019\cdot2}{2019 + 2} + \cdots + \frac{1011\cdot1010}{1011 + 1010}\\\end{aligned}[/tex]Perhatikan bahwa denominator / penyebut semuanya berjumlah 2021[tex]\begin{aligned}\frac{2020\cdot1}{2020 + 1} + \frac{2019\cdot2}{2019 + 2} + \cdots + \frac{1011\cdot1010}{1011 + 1010} = \frac{1}{2021}\cdot(2020\cdot1 + 2019\cdot2 + \cdots + 1011\cdot1010)\\\end{aligned}[/tex]Untuk melakukan kalkulasi nilai penjumlahan tersebut, sederhanakan dan gunakan jumlah deret aritmatika & sum of squares seperti berikut[tex]\begin{aligned}\\\frac{1}{2021}\cdot(2020\cdot1 + 2019\cdot2 + \cdots + 1011\cdot1010) = \frac{1}{2021}\cdot\sum_{i=1}^{1010} i (2021-i)\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}\frac{1}{2021}\cdot\sum_{i=1}^{1010} i (2021-i)& = \frac{1}{2021}\cdot\sum_{i=1}^{1010} 2021i-i^2\\& = \frac{1}{2021}\cdot \left[ \sum_{i=1}^{1010} 2021i-\sum_{i=1}^{1010}i^2 \right]\\& = \frac{1}{2021}\cdot \left[ 2021\sum_{i=1}^{1010} i-\sum_{i=1}^{1010}i^2 \right]\\& = \frac{1}{2021}\cdot \left[ 2021\cdot \frac{1010(1010+1)}{2}-\frac{1010(1010+1)(2\cdot1010+1)}{6} \right]\\\end{aligned}[/tex]Dan dari persamaan terakhir dapat didapatkan nilai N, perhatikan bahwa 1011 dapat dibagi 3 (jumlah digit habis dibagi 3)[tex]\begin{aligned}\\\frac{1}{2021}\cdot \left[ \frac{2021\cdot1010\cdot1011}{2}-\frac{1010\cdot1011\cdot2021}{6} \right] & = 1010\cdot1011\left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right]\\& = 1010\cdot1011 \cdot \frac{1}{3}\\& = 1010\cdot337\end{aligned}[/tex]Akhirnya, dapat ditentukan 3 digit awal dari N[tex]\begin{aligned}\\1010 \cdot 337 & \equiv 10 \cdot 337 & \mod{1000}\\& \equiv 3370 & \mod{1000}\\& \equiv 370 & \mod{1000}\\\end{aligned}[/tex]Sehingga dapat disimpulkan[tex]N \equiv 370 \mod 1000[/tex]Terlampir snippet python untuk sanity check. Hasil sum(s) memiliki floating point rounding error tetapi hasil 3 digit pertama seharusnya sama.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh TanurRizal dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 19 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>