Matriks adalah sebuah array (atau daftar) bilangan-bilangan yang dituliskan dalam bentuk baris dan kolom. Berikut ini adalah beberapa jenis matriks beserta contoh:

Matriks konstan: merupakan matriks yang isinya terdiri dari bilangan-bilangan yang sama. Contoh:

[2 2 2]

[2 2 2]

[2 2 2]

Matriks identitas: merupakan matriks yang isinya terdiri dari nol-nol kecuali di diagonal utama yang terdiri dari satu-satu. Contoh:

[1 0 0]

[0 1 0]

[0 0 1]

Matriks nol: merupakan matriks yang isinya terdiri dari nol-nol semua. Contoh:

[0 0 0]

[0 0 0]

[0 0 0]

Matriks satuan: merupakan matriks yang isinya terdiri dari nol-nol kecuali di diagonal utama yang terdiri dari bilangan-bilangan yang sama dengan 1. Contoh:

[3 0 0]

[0 3 0]

[0 0 3]

Matriks persegi: merupakan matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomnya. Contoh:

[4 5 6]

[7 8 9]

[1 2 3]

Persamaan bebas adalah persamaan yang tidak memuat variabel yang ingin dicari. Berikut ini adalah 3 contoh persamaan bebas:

2x + 3y - z = 1

-x + 2y - 3z = 4

x + 2y - z = -1

Untuk mencari nilai x, y, dan z, kita dapat menggunakan konsep Gauss Jordan. Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Buatlah matriks yang terdiri dari koefisien-koefisien variabel dan konstanta-konstanta di samping persamaan.

[2 3 -1 1]

[-1 2 -3 4]

[1 2 -1 -1]

b. Lakukan operasi baris agar matriks tersebut menjadi matriks echelon form.

[1 2 -1 -1]

[0 1 -1 3]

[0 0 0 0]

c. Lakukan operasi baris agar matriks tersebut menjadi matriks reduced echelon form.

[1 0 0 -1/2]

[0 1 0 3/2]

[0 0 0 0]

d. Dari matriks reduced echelon form tersebut, kita dapat mengetahui nilai x, y, dan z yaitu -1/2, 3/2, dan 0.

Panjang vector adalah ukuran suatu vector yang dapat digunakan untuk mengetahui seberapa jauh jarak vector tersebut dari titik awal (origo). Panjang vector dapat dihitung dengan menggunakan rumus panjang vector:

panjang vector = √(x1^2 + x2^2 + x3^2 + ... + xn^2)

Contoh:

Kita diberikan vector (3, 4, 5). Untuk mencari panjang vector tersebut, kita dapat menggunakan rumus di atas:

panjang vector = √(3^2 + 4^2 + 5^2) = √(9 + 16 + 25) = √(50) = 5√(2)

Jadi, panjang vector (3, 4, 5) adalah 5√(2).

Eigen value dan eigen vector adalah salah satu konsep yang sering digunakan dalam aljabar linier. Eigen value merupakan nilai-nilai yang memenuhi persamaan determinan matriks (matriks yang isinya terdiri dari koefisien-koefisien variabel dan konstanta-konstanta di samping persamaan). Eigen vector adalah vector-vector yang memenuhi persamaan matriks tersebut.

Untuk mencari eigen value dan eigen vector matriks berordo 3x3, kita dapat menggunakan rumus:

Eigen value:

determinan matriks = 0

Eigen vector:

matriks - eigen value * matriks identitas = matriks nol

Contoh:

Diketahui matriks berordo 3x3 dengan isinya bebas:

[2 3 4]

[4 5 6]

[6 7 8]

Untuk mencari eigen value dan eigen vector matriks tersebut, pertama-tama kita perlu mencari determinan matriks tersebut. Determinan matriks dapat dihitung dengan rumus:

determinan matriks = a * e * i + b * f * g + c * d * h - c * e * g - b * d * i - a * f * h

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh bahwa determinan matriks tersebut adalah 0. Jadi, eigen value matriks tersebut adalah 0.

Selanjutnya, kita dapat mencari eigen vector matriks tersebut dengan menggunakan rumus:

matriks - eigen value * matriks identitas = matriks nol

Dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh bahwa eigen vector matriks tersebut adalah:

[-3 -4 -5]

[-4 -5 -6]

[-6 -7 -8]

Jadi, eigen value matriks tersebut adalah 0