Jika f^ prime (x) = 2x + 3 * integrate

Berikut ini adalah pertanyaan dari ikhsanrtebe pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika f^ prime (x) = 2x + 3 * integrate f(x) dx from 0 to 1 dan f(0) = 2 tentukan nilai f(2) =

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai f(2) = –22.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Integral

Diberikan:

$\begin{aligned}&f'(x)=2x+3\int_0^1 f(x)\,dx\end{aligned}$
dengan $f(0) = 2$ .

Perhatikan bahwa hasil dari bagian integral di atas adalah konstanta, sehingga kita dapat mengambil konstanta $c_1$ yang memenuhi:

$\begin{aligned}&f'(x)=2x+c_1,\\&\quad{\sf dengan\ }c_1=3\int_0^1 f(x)\,dx\\&\quad\Rightarrow \int_0^1 f(x)\,dx=\frac{c_1}{3}\end{aligned}$

Maka:

$\begin{aligned}f(x)&=\int \left(2x+c_1\right)\,dx\\\Rightarrow f(x)&=x^2+c_1x+c_2\end{aligned}$

Karena $f(0) = 2$ , jelas bahwa $c_2=2$ , sehingga:

$f(x)=x^2+c_1x+2$

Kemudian, kita integralkan dengan batas-batas yang sama.

$\begin{aligned}\int_0^1f(x)\,dx&=\int_0^1\left(x^2+c_1x+2\right)dx\\\frac{c_1}{3}&=\left.\left(\frac{x^3}{3}+\frac{c_1x^2}{2}+2x\right)\right|_0^1\\&=\left(\frac{1}{3}+\frac{c_1}{2}+2\right)-0\\\frac{c_1}{3}&=\frac{1}{3}+\frac{c_1}{2}+2\\\frac{2c_1}{6}&=\frac{2+3c_1+12}{6}\\2c_1&=2+3c_1+12\\-c_1&=14\implies c_1=-14\\\end{aligned}$