1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

. [tex]1. \: \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{3x} =

Berikut ini adalah pertanyaan dari unknown pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

.1. \: \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x)}{3x} = \dots
2. \: \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(3x) }{ \tan(3x) } = \dots
3. \: \displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{ \sin(x) + x }{ \tan(2x) } = \dots
.
.
.
Selamat Berjuang​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

\begin{aligned}\sf 1.\ \:&\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}=\boxed{\,\bf\frac{1}{3}\,}\\\vphantom{\Bigg|}\sf 2.\ \:&\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{\tan(3x)}=\boxed{\,\bf1\,}\\\sf 3.\ \:&\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)+x}{\tan(2x)}=\boxed{\,\bf1\,}\end{aligned}
 

Penjelasan

Limit Fungsi Trigonometri

Nomor 1

\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{ax}&=\frac{1}{a}\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)\\&=\frac{1}{a}\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)\end{aligned}

Misalkan terdapat sebuah lingkaran dengan panjang jari-jari = 1 satuan.

\sin xadalah nilai tinggi segitiga sama kaki dari juring lingkaran dengan besar sudut pusatx. Jarak dari garis tinggi segitiga tersebut ke pusat lingkaran adalah cos x, yang sama dengan \sin x.

Jika kita buat juring lingkaran yang lebih kecil dengan besar sudut pusat xdan panjang jari-jari\cos x, panjang busurnya adalah:

\begin{aligned}\left(\frac{x}{\cancel{2\pi}}\right)\cancel{2\pi}\cdot\cos x=x\cos x\end{aligned}
Perhatikan bahwa panjang busur ini pasti kurang dari \sin x.

Sedangkan panjang busur dari juring lingkaran yang lebih besar adalah:

\begin{aligned}\left(\frac{x}{\cancel{2\pi}}\right)\cancel{2\pi}\cdot1=x\end{aligned}

Maka, hubungannya adalah:

\begin{aligned}x\cos x \le \sin x \le x\end{aligned}

Ketiga ruas dibagi x, kita peroleh:

\begin{aligned}\cos x \le \frac{\sin x}{x} \le 1\end{aligned}

Ketika x mendekati 0:

\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\cos x \le \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} \le 1\\&\Leftrightarrow \cos 0 \le \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} \le 1\\&\Leftrightarrow 1 \le \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} \le 1\\&\Leftrightarrow \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\end{aligned}

Oleh karena itu:

\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{ax}&=\frac{1}{a}\left(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}\right)\\&=\frac{1}{a}\end{aligned}

Dengan demikian, nilai limit yang kita cari adalah:

\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{3x}=\boxed{\,\bf\frac{1}{3}\,}\end{aligned}
____________

Nomor 2

\begin{aligned}\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{\tan(3x)}&=\lim_{x\to0}\left(\cancel{\sin(3x)}\cdot\frac{\cos(3x)}{\cancel{\sin(3x)}}\right)\\&=\lim_{x\to0}\cos(3x)\\&=\cos0\\\lim_{x\to0}\frac{\sin(3x)}{\tan(3x)}&=\boxed{\,\bf1\,}\end{aligned}
____________

Nomor 3

\begin{aligned}&\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)+x}{\tan(2x)}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\left(\frac{\sin(x)}{\tan(2x)}+\frac{x}{\tan(2x)}\right)\\&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{\tan(2x)}+\lim_{x\to0}\frac{x}{\tan(2x)}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)\cos(2x)}{\sin(2x)}+\lim_{x\to0}\frac{x\cos(2x)}{\sin(2x)}\\&{=\ }\lim_{x\to0}\frac{\cancel{\sin(x)}\cos(2x)}{2\cancel{\sin(x)}\cos x}+\lim_{x\to0}\frac{x\cos(2x)}{2\sin x\cos x}\end{aligned}
\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{2}\left[\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)}{\cos x}+\lim_{x\to0}\frac{x\cos(2x)}{\sin x\cos x}\right]\\&\quad\textsf{dengan pengecualian pada bentuk tak tentu}:\\&{=\ }\frac{1}{2}\left[1+\lim_{x\to0}\frac{x}{\sin x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\cos(2x)}{\cos x}\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}\left[1+1\cdot1\right]\\&{=\ }\boxed{\,\bf1\,}\end{aligned}
 
 
\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 11 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>