1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Tolong kak. Udah liat tutor di yt msh ga paham

Berikut ini adalah pertanyaan dari silviaindah500 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong kak. Udah liat tutor di yt msh ga paham
Tolong kak. Udah liat tutor di yt msh ga paham

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Misalkan Au = λu

maka Au - λu = 0

maka (A - λI)u = 0

Sehingga, persamaan karakteristiknya akan didapatkan oleh:

det(A - λI) = 0

Perhatikan bahwa

A-\lambda I=\begin{bmatrix}3&0&-5\\ \frac{1}{5}&-1&0\\ 1&1&-2\end{bmatrix}-\lambda\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\\A-\lambda I=\begin{bmatrix}3-\lambda&0&-5\\ \frac{1}{5}&-1-\lambda&0\\ 1&1&-2-\lambda\end{bmatrix}\\

Sehingga,

\det(A-\lambda I)=\left((3-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda)-(-5)(\frac{1}{5})(1)\right)-\left((-5)(-1-\lambda)(1)\right)\\\det(A-\lambda I)=(3-\lambda)(-1-\lambda)(-2-\lambda)-6-5\lambda\\\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+7\lambda+6-6-5\lambda\\\det(A-\lambda I)=-\lambda^3+2\lambda

Jadi, persamaan karakteristiknya adalah:

-\lambda^3+2\lambda=0

untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen, cari nilai lamba yang memenuhi persamaan karakteristik.

Perhatikan bahwa:

-\lambda^3+2\lambda=0\\(\lambda^2-2)(-\lambda)=0\\(\lambda+\sqrt{2})(\lambda-\sqrt{2})(-\lambda)=0

Jadi, nilai-nilai eigennya adalah √2, -√2, dan 0.

Selanjutnya, untuk mencari vektor atau basis ruang eigen (dengan nilai eigen yang bersesuaian), subtitusi nilai eigen ke dalam ekspresi (A - λI) dan bentuk ke dalam eselon baris untuk (A - λI) = 0

Jika λ = 0, maka

A-\lambda I=A-0I=A

Sehingga, bentuk eselon barisnya adalah:

\begin{pmatrix}3&0&-5&0\\\frac{1}{5}&-1&0&0\\1&1&-2&0\end{pmatrix}R_2\to 5R_2\\\begin{pmatrix}3&0&-5&0\\1&-5&0&0\\1&1&-2&0\end{pmatrix}R_2\to-\frac{1}{3}R_1+R_2, R_3\to -\frac{1}{3}R_1+R_3\\\begin{pmatrix}3&0&-5&0\\0&-5&\frac{5}{3}&0\\0&1&-\frac{1}{3}&0\end{pmatrix}R_3\to\frac{1}{5}R_2+R_3, R_2\to \frac{3}{5}R_2\\\begin{pmatrix}3&0&-5&0\\0&-3&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}

Jadi, akan didapatkan sistem persamaan berikut:

3u_1 -5u_3=0 \Leftrightarrow u_1=\frac{5}{3}u_3\\-3u_2+u_3=0 \Leftrightarrow u_2=\frac{1}{3}u_3\\u_3=u_3

Sehingga, akan didapatkan basis ruang eigennya (untuk λ = 0) yaitu

\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}\\ 1\end{bmatrix}

Dengan yang sama, substitusi untuk λ = √2 dan λ = -√2, maka akan didapatkan basis ruang eigennya adalah:

\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{15+5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1+2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}

dan

\begin{bmatrix}u_1\\u_2\\u_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{15-5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1-2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}

===

Sehingga,

untuk nilai eigen λ = 0

vektor eigennya adalah

t\begin{bmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}\\ 1\end{bmatrix}

ruang eigennya adalah

\left\{u=t\begin{bmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}\\ 1\end{bmatrix}\right\}

dan basis ruang eigennya adalah

\begin{bmatrix}\frac{5}{3}\\\frac{1}{3}\\ 1\end{bmatrix}

untuk nilai eigen λ = √2

vektor eigennya adalah

t\begin{bmatrix}\frac{15+5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1+2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}

ruang eigennya adalah

\left\{u=t\begin{bmatrix}\frac{15+5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1+2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}\right\}

dan basis ruang eigennya adalah

\begin{bmatrix}\frac{15+5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1+2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}

untuk nilai eigen λ = -√2

vektor eigennya adalah

t\begin{bmatrix}\frac{15-5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1-2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}

ruang eigennya adalah

\left\{u=t\begin{bmatrix}\frac{15-5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1-2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}\right\}

dan basis ruang eigennya adalah

\begin{bmatrix}\frac{15-5\sqrt{2}}{7}\\ \frac{-1-2\sqrt{2}}{7}\\1\end{bmatrix}

dengan t suatu parameter.

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh Kilos dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Mon, 27 Feb 23
<< Previous Post
Next Post >>