Berapa nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = [tex]\frac{2}{4~cos~x+sin~x+12}[/tex]

Berikut ini adalah pertanyaan dari Syubbana pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Berapa nilai maksimum dan minimum dari fungsi y = $\frac{2}{4~cos~x+sin~x+12}$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Nilai maksimum dan minimum fungsi $\displaystyle{y=\frac{2}{4cosx+sinx+12}}$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{2(12+\sqrt{17})}{127}~dan~\frac{2(12-\sqrt{17})}{127}}}$ .

PEMBAHASAN

Trigonometri merupakan ilmu matematika yang mempelajari hubungan antara panjang dan sudut pada segitiga. Salah satu bentuk fungsi trigonometri adalah $f(x)=acosx+bsinx$ yang dapat kita ubah menjadi $f(x)=kcos(x-\theta)$ dengan :

$k=\sqrt{a^2+b^2}$

$\displaystyle{\theta=arctan\left ( \frac{b}{a} \right )}$

Fungsi f(x) memiliki nilai minimum = -k dan maksimum = k. Bisa kita tulis juga sebagai :

$-k\leq kcos(x-\theta)\leq k$

DIKETAHUI

$\displaystyle{y=\frac{2}{4cosx+sinx+12}}$

.
DITANYA

Tentukan nilai maksimum dan minimum fungsi y.

PENYELESAIAN

Kita ubah dahulu bentuk 4cosx + sinx menjadi kcos(x-θ).

$4cosx+sinx\left\{\begin{matrix}a=4\\ \\b=1\end{matrix}\right.$

$k=\sqrt{a^2+b^2}$

$k=\sqrt{4^2+1^2}$

$k=\sqrt{17}$

Fungsi y bisa kita tulis sebagai :

$\displaystyle{y=\frac{2}{4cosx+sinx+12}}$

$\displaystyle{y=\frac{2}{\sqrt{17}cos(x-\theta)+12}}$

> Mencari nilai maksimum fungsi :

Fungsi y akan maksimum ketika bagian penyebut bernilai paling kecil, atau ketika $cos(x-\theta)=-1$ , maka :

$\displaystyle{y_{max}=\frac{2}{\sqrt{17}\underbrace{cos(x-\theta)}_{=-1}+12}}$

$\displaystyle{y_{max}=\frac{2}{12-\sqrt{17}}\times\frac{12+\sqrt{17}}{12+\sqrt{17}}}$

$\displaystyle{y_{max}=\frac{2(12+\sqrt{17})}{144-17}}$

$\displaystyle{y_{max}=\frac{2(12+\sqrt{17})}{127}}$

> Mencari nilai minimum fungsi :

Fungsi y akan minimum ketika bagian penyebut bernilai paling besar, atau ketika $cos(x-\theta)=1$ , maka :

$\displaystyle{y_{min}=\frac{2}{\sqrt{17}\underbrace{cos(x-\theta)}_{=1}+12}}$

$\displaystyle{y_{min}=\frac{2}{12+\sqrt{17}}\times\frac{12-\sqrt{17}}{12-\sqrt{17}}}$

$\displaystyle{y_{min}=\frac{2(12-\sqrt{17})}{144-17}}$

$\displaystyle{y_{min}=\frac{2(12-\sqrt{17})}{127}}$

KESIMPULAN

Nilai maksimum dan minimum fungsi $\displaystyle{y=\frac{2}{4cosx+sinx+12}}$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{2(12+\sqrt{17})}{127}~dan~\frac{2(12-\sqrt{17})}{127}}}$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Mencari niai maksimum fungsi trigonometri : yomemimo.com/tugas/36948466
Mencari nilai minimum fungsi trigonometri : yomemimo.com/tugas/29464604
Persamaan trigonometri : yomemimo.com/tugas/34382463

DETAIL JAWABAN

Kelas : 10

Mapel: Matematika

Bab : Trigonometri

Kode Kategorisasi: 10.2.7

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 01 Feb 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah