Hitunglah integral tentu berikut dengan menggunakan teknik substitusi :a. ∫√x√2x+140dxb.

Berikut ini adalah pertanyaan dari febrieaja pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Hitunglah integral tentu berikut dengan menggunakan teknik substitusi :a. ∫

√x

√2x+1

4

0

dx

b. ∫ x

2

(2x

3 + 4)

2 dx 4

−2

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

a. Hasil dari $\displaystyle{\int\limits^4_0 {\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x+1}}} \, dx }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{3-\frac{ln|2\sqrt{2}+3|}{2\sqrt{2}}}}$ .

b. Hasil dari $\displaystyle{\int\limits^4_{-2} {x^2(2x^3+4)^2} \, dx }$ adalah127872.

PEMBAHASAN

Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral berbentuk :

$\displaystyle{\sqrt{x^2-a^2}~\to~substitusi~sec\theta=\frac{x}{a} }$

DIKETAHUI

$\displaystyle{a.~\int\limits^4_0 {\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x+1}}} \, dx= }$

$\displaystyle{b.~\int\limits^4_{-2} {x^2(2x^3+4)^2} \, dx= }$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

Soal a.

Misal :

$\displaystyle{u=\sqrt{2x+1}~\to~du=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx }$

$\displaystyle{x=\frac{u^2-1}{2} }$

$\displaystyle{x=0~\to~u=\sqrt{2(0)+1}=1 }$

$\displaystyle{x=4~\to~u=\sqrt{2(4)+1}=3 }$

$\displaystyle{\int\limits^4_0 {\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x+1}}} \, dx }$

$\displaystyle{=\int\limits^3_1 {\frac{\sqrt{\frac{u^2-1}{2}}}{u}} \, \left ( \sqrt{2x+1} du \right ) }$

$\displaystyle{=\int\limits^3_1 {\frac{\sqrt{\frac{u^2-1}{2}}}{\cancel{u}}} \, \left ( \cancel{u} du \right ) }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits^3_1 {\sqrt{u^2-1}} \, du }$

$----------------$

Misal :

$sec\theta=u$

$tan\theta sec\theta d\theta=du$

$----------------$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits^3_1 {\sqrt{sec^2\theta-1}} \, (tan\theta sec\theta d\theta) }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits^3_1 {tan\theta sec\theta\sqrt{tan^2\theta}} \, d\theta }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits^3_1 {tan^2\theta sec\theta} \, d\theta }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits^3_1 {(sec^2\theta-1) sec\theta} \, d\theta }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\int\limits^3_1 {(sec^3\theta-sec\theta)} \, d\theta }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \int\limits^3_1 {sec^3\theta} \, d\theta-\int\limits^3_1 {sec\theta} \, d\theta \right ) }$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \int\limits^3_1 {sec^3\theta} \, d\theta-ln|tanx+secx|\Bigr|^3_1 \right ) }$

$----------------$

Misal :

$p=sec\theta~\to~dp=tan\theta sec\theta d\theta$

$dq=sec^2\theta d\theta~\to~q=tan\theta$

Maka :

$\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=pq-\int\limits {q} \, dp }$

$\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=sec\theta tan\theta-\int\limits {tan\theta (tan\theta sec\theta)} \, d\theta }$

$\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=sec\theta tan\theta-\int\limits {tan^2\theta sec\theta} \, d\theta }$

$\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=sec\theta tan\theta-\int\limits {(sec^2\theta-1) sec\theta} \, d\theta }$

$\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=sec\theta tan\theta-\int\limits {sec^3\theta} \, d\theta+\int\limits {sec\theta} \, d\theta }$

$\displaystyle{2\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=sec\theta tan\theta+ln|tan\theta+sec\theta| }$

$\displaystyle{\int\limits{sec^3\theta} \, d\theta=\frac{1}{2}sec\theta tan\theta+\frac{1}{2}ln|tan\theta+sec\theta| }$

$---------------$

$\displaystyle{=\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{2}sec\theta tan\theta+\frac{1}{2}ln|tan\theta+sec\theta|-ln|tan\theta+sec\theta|\right )\Bigr|^3_1 }$