Jawaban:

Untuk menentukan apakah suatu himpunan vektor adalah subruang dari R³, kita dapat menggunakan Teorema 1 yang menyatakan bahwa suatu himpunan adalah subruang jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat berikut:

1. Himpunan tersebut bukanlah himpunan kosong.

2. Himpunan tersebut tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor.

3. Himpunan tersebut tertutup terhadap perkalian dengan skalar.

Mari kita periksa himpunan-himpunan yang diberikan untuk melihat apakah mereka memenuhi ketiga syarat tersebut:

a) Himpunan vektor berbentuk (a, 0, 0):

- Himpunan ini bukanlah himpunan kosong karena berisi vektor (a, 0, 0) dengan a sebagai bilangan riil.

- Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor karena jika kita menjumlahkan dua vektor (a₁, 0, 0) dan (a₂, 0, 0), hasilnya adalah (a₁ + a₂, 0, 0) yang juga termasuk dalam himpunan ini.

- Himpunan ini tertutup terhadap perkalian dengan skalar karena jika kita mengalikan vektor (a, 0, 0) dengan skalar k, hasilnya adalah (ka, 0, 0) yang juga termasuk dalam himpunan ini.

Dengan demikian, himpunan vektor berbentuk (a, 0, 0) adalah subruang dari R³.

b) Himpunan vektor berbentuk (a, 1, 1):

- Himpunan ini bukanlah himpunan kosong karena berisi vektor (a, 1, 1) dengan a sebagai bilangan riil.

- Namun, himpunan ini tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor. Misalnya, jika kita menjumlahkan vektor (1, 1, 1) dan (-1, 1, 1), hasilnya adalah (0, 2, 2) yang tidak termasuk dalam himpunan ini.

- Oleh karena itu, himpunan vektor berbentuk (a, 1, 1) bukanlah subruang dari R³.

c) Himpunan vektor berbentuk (a, b, c) dengan b = a + c:

- Himpunan ini bukanlah himpunan kosong karena berisi vektor (a, b, c) dengan b = a + c, di mana a dan c adalah bilangan riil.

- Himpunan ini tertutup terhadap operasi penjumlahan vektor karena jika kita menjumlahkan dua vektor (a₁, b₁, c₁) dan (a₂, b₂, c₂) dengan b₁ = a₁ + c₁ dan b₂ = a₂ + c₂, maka hasilnya adalah (a₁ + a₂, (a₁ + c₁) + (a₂ + c₂), c₁ + c₂) yang juga termasuk dalam himpunan ini.

- Himpunan ini tertutup terhadap perkalian dengan skalar karena jika kita mengalikan vektor (a, b, c) dengan skalar k, hasilnya adalah (ka,