Evaluating a Definite Integral Using a Geometric Formula In Exercises

Berikut ini adalah pertanyaan dari adit3295 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Evaluating a Definite Integral Using a Geometric Formula In Exercises 23–32, sketch the region whose area is given by the definite integral. Then use a geometric formula to evaluate the integral (a>0, r>0).Bantuin Kalkulus nomor 32 donkkkk

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Luas daerah yang dievaluasi adalah ½πr². Hal ini berarti:
$\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\Bigg|}\,\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^2\,}\end{aligned}$
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan integral:

$\begin{aligned}\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\end{aligned}$

dengan $r > 0$ , yang akan dievaluasi dengan membuat sketsa daerahnya dan menghitung luasnya dengan rumus geometri.

Membuat Sketsa Daerah Integral

Kita tahu bahwa $x^2 + y^2 = r^2$ adalah persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pusat koordinat $(0, 0)$ dengan jari-jari $r$ .

Maka, berdasarkan persamaan lingkaran tersebut, dapat diperoleh:

$\begin{aligned}&y^2=r^2-x^2\\&\Rightarrow y=\pm\sqrt{r^2-x^2}\end{aligned}$

Artinya:

grafik $y=\sqrt{r^2-x^2}$ berbentuksetengah lingkaran pada arah sumbu-y positif, dan
grafik $y=-\sqrt{r^2-x^2}$ berbentuksetengah lingkaran pada arah sumbu-y negatif.

Oleh karena itu, daerah yang dievaluasi integralnya, yaitu $y=\sqrt{r^2-x^2}$ pada interval $[-r,r]$ berbentuksetengah lingkaran, dengan pusat (0,0)dan panjang jari-jari sebesar $r$ . Titik-titik potong pada sumbu koordinat adalah $(-r, 0)$ , $(0, r)$ , dan $(r, 0)$ .

Sketsa daerah pada sistem koordinat Cartesius terdapat pada gambar.

Evaluasi Integral Tentu dengan Rumus Geometri

Berdasarkan sketsa daerah yang telah digambarkan, luas daerah yang dievaluasi adalah setengah kali luas lingkarandengan jari-jari $r$ , yaitu ½πr².

Oleh karena itu, nilai integral tentu yang dievaluasi dapat dinyatakan dengan:

$\displaystyle\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^2$
$\blacksquare$
________________

Tambahan:

Kita juga dapat menghitung integral tersebut dengan integral substitusi sebagai berikut.

$\begin{aligned}&\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\\&\quad\textsf{Substitusi trigonometri:}\\&\qquad x=r\sin u\\&\qquad\Rightarrow dx=r\cos u\,du\\&\quad\textsf{Interval $u$:}\\&\qquad u=\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\\&\qquad \Rightarrow \left[\arcsin\left(\frac{-r}{r}\right),\ \arcsin\left(\frac{r}{r}\right)\right]\\&\qquad \Rightarrow \left[\arcsin(-1),\ \arcsin(1)\right]\\&\qquad \Rightarrow \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right]\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\sqrt{r^2-r^2\sin^2u}\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\sqrt{r^2\left(1-\sin^2u\right)}\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\sqrt{r^2\cos^2u}\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\cdot r\cos u\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^2\cos^2u\,du\\&{=\ }r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\,du\\&{=\ }r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2u}{2}\,du\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\cos2u)\,du\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[u+\frac{1}{2}\sin2u\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin(\pi)\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin(-\pi)\right)\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+0\right)\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\cdot\pi\\&{=\ }\boxed{\,\frac{1}{2}\pi r^2\,}\\\end{aligned}$
$\blacksquare$

$Luas daerah yang dievaluasi adalah ½πr². Hal ini berarti:[tex]\begin{aligned}\boxed{\vphantom{\Bigg|}\,\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^2\,}\end{aligned}[/tex] Penjelasan dengan langkah-langkah:Diberikan integral:[tex]\begin{aligned}\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\end{aligned}[/tex]dengan [tex]r > 0[/tex], yang akan dievaluasi dengan membuat sketsa daerahnya dan menghitung luasnya dengan rumus geometri.Membuat Sketsa Daerah IntegralKita tahu bahwa [tex]x^2 + y^2 = r^2[/tex] adalah persamaan lingkaran yang berpusat pada titik pusat koordinat [tex](0, 0)[/tex] dengan jari-jari [tex]r[/tex].Maka, berdasarkan persamaan lingkaran tersebut, dapat diperoleh:[tex]\begin{aligned}&y^2=r^2-x^2\\&\Rightarrow y=\pm\sqrt{r^2-x^2}\end{aligned}[/tex]Artinya:grafik [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex] berbentuk setengah lingkaran pada arah sumbu-y positif, dangrafik [tex]y=-\sqrt{r^2-x^2}[/tex] berbentuk setengah lingkaran pada arah sumbu-y negatif.Oleh karena itu, daerah yang dievaluasi integralnya, yaitu [tex]y=\sqrt{r^2-x^2}[/tex] pada interval [tex][-r,r][/tex] berbentuk setengah lingkaran, dengan pusat (0,0) dan panjang jari-jari sebesar [tex]r[/tex]. Titik-titik potong pada sumbu koordinat adalah [tex](-r, 0)[/tex], [tex](0, r)[/tex], dan [tex](r, 0)[/tex].Sketsa daerah pada sistem koordinat Cartesius terdapat pada gambar.Evaluasi Integral Tentu dengan Rumus GeometriBerdasarkan sketsa daerah yang telah digambarkan, luas daerah yang dievaluasi adalah setengah kali luas lingkaran dengan jari-jari [tex]r[/tex], yaitu ½πr².Oleh karena itu, nilai integral tentu yang dievaluasi dapat dinyatakan dengan:[tex]\displaystyle\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\pi r^2[/tex][tex]\blacksquare[/tex]________________Tambahan:Kita juga dapat menghitung integral tersebut dengan integral substitusi sebagai berikut.[tex]\begin{aligned}&\int_{-r}^{r}\sqrt{r^2-x^2}\,dx\\&\quad\textsf{Substitusi trigonometri:}\\&\qquad x=r\sin u\\&\qquad\Rightarrow dx=r\cos u\,du\\&\quad\textsf{Interval $u$:}\\&\qquad u=\arcsin\left(\frac{x}{r}\right)\\&\qquad \Rightarrow \left[\arcsin\left(\frac{-r}{r}\right),\ \arcsin\left(\frac{r}{r}\right)\right]\\&\qquad \Rightarrow \left[\arcsin(-1),\ \arcsin(1)\right]\\&\qquad \Rightarrow \left[-\frac{\pi}{2},\ \frac{\pi}{2}\right]\\\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\sqrt{r^2-r^2\sin^2u}\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\sqrt{r^2\left(1-\sin^2u\right)}\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\sqrt{r^2\cos^2u}\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r\cos u\cdot r\cos u\,du\\&{=\ }\int_{-\pi/2}^{\pi/2}r^2\cos^2u\,du\\&{=\ }r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2u\,du\\&{=\ }r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{1+\cos2u}{2}\,du\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\cdot\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\cos2u)\,du\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[u+\frac{1}{2}\sin2u\right]_{-\pi/2}^{\pi/2}\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[\left(\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin(\pi)\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{1}{2}\sin(-\pi)\right)\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[\left(\frac{\pi}{2}+0\right)-\left(-\frac{\pi}{2}+0\right)\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\left[\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}\right]\\&{=\ }\frac{1}{2}r^2\cdot\pi\\&{=\ }\boxed{\,\frac{1}{2}\pi r^2\,}\\\end{aligned}[/tex][tex]\blacksquare[/tex]$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 18 Jan 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

Evaluating a Definite Integral Using a Geometric Formula In Exercises

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika