Jawaban:

Untuk menyelesaikan sistem persamaan linier tersebut menggunakan metode eliminasi Gaussian melalui operasi baris elementer, kita akan mengubah matriks augmented sistem tersebut menjadi matriks segitiga atas (upper triangular matrix). Berikut langkah-langkahnya:

Matriks augmented sistem:

[1 1 1 1 | 0]

[1 2 3 4 | 0]

[1 3 5 -4 | 0]

Kurangi baris pertama dengan baris kedua, kemudian kurangi baris pertama dengan baris ketiga:

[1 1 1 1 | 0]

[0 1 2 3 | 0]

[0 2 4 -5 | 0]

Kurangi baris kedua dengan dua kali baris pertama:

[1 1 1 1 | 0]

[0 1 2 3 | 0]

[0 0 2 -7 | 0]

Sehingga diperoleh matriks segitiga atas sebagai berikut:

[1 1 1 1 | 0]

[0 1 2 3 | 0]

[0 0 2 -7 | 0]

Terakhir, kita akan menggunakan metode substitusi mundur (backward substitution) untuk mencari solusi dari sistem persamaan linier ini. Berikut langkah-langkahnya:

Dari baris terakhir matriks segitiga atas, kita dapat langsung menentukan nilai x₄ = 7/2.

Substitusikan nilai x₄ = 7/2 ke dalam baris kedua matriks segitiga atas, sehingga diperoleh:

x₂ + 2x₃ + 21/2 = 0

Dari baris ini, kita dapat menentukan nilai x₃:

x₃ = -1/4 x₂ - 21/4

Substitusikan nilai x₃ ke dalam baris pertama matriks segitiga atas, sehingga diperoleh:

x₁ + 3/2 x₂ = 0

Dari baris ini, kita dapat menentukan nilai x₁:

x₁ = -3/2 x₂

Sehingga solusi dari sistem persamaan linier tersebut adalah:

x₁ = -3/2 x₂

x₂ = t (variabel bebas)

x₃ = -1/4 x₂ - 21/4

x₄ = 7/2

dengan t adalah variabel bebas.

Demikianlah penyelesaian dari sistem persamaan linier menggunakan metode eliminasi Gaussian melalui operasi baris elementer.