1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Jika (n + 1) = n² + 4n² + 6

Berikut ini adalah pertanyaan dari arzianmartiawanputri pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika (n + 1) = n² + 4n² + 6 + 4n+ 1, hitunglah nilai dari Σn³​
Jika (n + 1) = n² + 4n² + 6 + 4n+ 1, hitunglah nilai dari Σn³​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika (n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1, maka:
\boxed{\vphantom{\Bigg|}\,\sum_{x=1}^n x^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\frac{n^2+n}{2}\right)^2\,}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Catatan awal:
Variabel indeks iteratif pada notasi sigma sebaiknya berbeda dengan variabel batas atasnya, jangan sama-sama n seperti yang digunakan pada notasi sigma yang diberikan oleh soal/pertanyaan.

Kita memiliki

\begin{aligned}(n+1)^4&=n^4+4n^3+6n^2+4n+1\end{aligned}

Kita akan menentukan/menghitung nilai dari

\begin{aligned}\sum_{x=1}^n\,x^3\end{aligned}

Penyelesaian

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa:

\begin{aligned}&(x+1)^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1\\&\Rightarrow (x+1)^4-x^4=4x^3+6x^2+4x+1\\&\Rightarrow \sum_{x=1}^n\left[(x+1)^4-x^4\right]=\sum_{x=1}^n\left[4x^3+6x^2+4x+1\right]\end{aligned}

Sedangkan

\begin{aligned}\sum_{x=1}^n\left[(x+1)^4-x^4\right]&=\sum_{x=1}^n (x+1)^4-\sum_{x=1}^n x^4\\&=\sum_{x=2}^{n+1} x^4-\sum_{x=1}^n x^4\\\sum_{x=1}^n\left[(x+1)^4-x^4\right]&=(n+1)^4-1\end{aligned}

Maka:

\begin{aligned}(n+1)^4-1&=\sum_{x=1}^n\left[4x^3+6x^2+4x+1\right]\\&=\sum_{x=1}^n 4x^3+\sum_{x=1}^n 6x^2+\sum_{x=1}^n 4x+\sum_{x=1}^n 1\\(n+1)^4-1&=\left(4\sum_{x=1}^n x^3\right)+\left(6\sum_{x=1}^n x^2\right)+\left(4\sum_{x=1}^n x\right)+n\\\end{aligned}

sehingga:

\begin{aligned}4\sum_{x=1}^n x^3&=(n+1)^4-\left(6\sum_{x=1}^n x^2\right)-\left(4\sum_{x=1}^n x\right)-n-1\\&=(n+1)^4-(n+1)-\left(6\sum_{x=1}^n x^2\right)-\left(4\sum_{x=1}^n x\right)\\4\sum_{x=1}^n x^3&=(n+1)\left[(n+1)^3-1\right]-\left(6\sum_{x=1}^n x^2\right)-\left(4\sum_{x=1}^n x\right)\\\end{aligned}

Kita tahu bahwa:

\begin{aligned}\bullet&&\sum_{x=1}^n x&=\frac{n(n+1)}{2}\ .\\\bullet&&\!\!\sum_{x=1}^n x^2&=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\ .\end{aligned}

Oleh karena itu:

\begin{aligned}4\sum_{x=1}^n x^3&=(n+1)\left[(n+1)^3-1\right]-\left(6\sum_{x=1}^n x^2\right)-\left(4\sum_{x=1}^n x\right)\\&=(n+1)\left[(n+1)^3-1\right]-6\left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right]-4\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]\\&=(n+1)\left[(n+1)^3-1\right]-n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)\\&=(n+1)\left[(n+1)^3-1-n(2n+1)-2n\right]\\&=(n+1)\left[(n+1)^3-n(2n+1)-2n-1\right]\\&=(n+1)\left[(n+1)^3-n(2n+1)-(2n+1)\right]\\&=(n+1)\left[(n+1)^3-(2n+1)(n+1)\right]\end{aligned}
\begin{aligned}&=(n+1)\left[(n+1)\left((n+1)^2-(2n+1)\right)\right]\\&=(n+1)\left[(n+1)\left(n^2+\cancel{2n+1}-\cancel{(2n+1)}\right)\right]\\&=(n+1)\left[(n+1)\left(n^2\right)\right]\\4\sum_{x=1}^n x^3&=n^2(n+1)^2=\left(n^2+n\right)^2\end{aligned}

Kemudian, setiap ruas dibagi 4 sehingga kita memperoleh jawabannya.

\begin{aligned}&\frac{1}{4}\left(4\sum_{x=1}^n x^3\right)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\frac{\left(n^2+n\right)^2}{4}\\\therefore\ \:&\boxed{\vphantom{\Bigg|}\,\sum_{x=1}^n x^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=\left(\frac{n^2+n}{2}\right)^2\,}\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Wed, 12 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>