1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

y"− 4y' = 4e^2t , y0 = 0, y'0 =

Berikut ini adalah pertanyaan dari michaaila pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Y"− 4y' = 4e^2t , y0 = 0, y'0 = 1​
y

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Solusi dari y''-4y'=4e^{2t} dengan y(0) = 0, y'(0) = 1 adalah \displaystyle{\boldsymbol{y=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{4t}-e^{2t}} }.

PEMBAHASAN

Persamaan diferensial (PD) orde 2 non homogen mempunyai bentuk :

\displaystyle{A\frac{d^2y}{dx^2}+B\frac{dy}{dx}+Cy=P(x)}, atau

\displaystyle{Ay''+By'+Cy=P(x)}

Dengan P(x) ≠ 0. Jika P(x) = 0 maka disebut PD orde 2 homogen.

PD ini mempunyai persamaan karakteristik berbentuk persamaan kuadrat :

Ar^2+Br+C=0

PD ini memiliki 2 solusi, yaitu :

1. Solusi PD homogen y_h.

2. Solusi PD non homogen y_p.

Solusi total dari PD orde 2 non homogen adalah y=y_h+y_p

Untuk solusi PD homogen ada 3 kemungkinan :

1. Jika akar akarnya real dan berbeda, maka y_h=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}.

2. Jika akarnya real dan kembar, maka y_h=C_1e^{rx}+C_2xe^{rx}.

3. Jika akarnya imajiner a ± bi, maka y_h=e^{ax}(C_1sinbx+C_2cosbx)

Untuk solusi PD non homogen disesuaikan dengan bentuk fungsi P(x) nya. Jika P(x) berbentuk fungsi eksponen e^{px}, maka pilih solusi berbentuk fungsi eksponen juga, yaitu e^{px} .

.

DIKETAHUI

y''-4y'=4e^{2t}

y(0) = 0

y'(0) = 1

.

DITANYA

Tentukan solusi persamaan diferensial tersebut.

.

PENYELESAIAN

> Mencari solusi PD homogen.

y''-4y'=4e^{2t}

Persamaan karakteristik yang sesuai adalah :

r^2-4r=0

r(r-4)=0

r=0~atau~r=4

.

Karena akar akarnya real dan berbeda , maka solusi homogennya adalah :

y_h=C_1e^{r_1t}+C_2e^{r_2t}

y_h=C_1e^{(0)t}+C_2e^{(4)t}

y_h=C_1+C_2e^{4t}

.

> Mencari solusi PD non homogen.

Karena P(t)=4e^{2t}, kita pilih :

y_p=Ae^{2t}

y'_p=2Ae^{2t}

y''_p=4Ae^{2t}

.

Substitusikan kembali ke soal :

y''-4y'=4e^{2t}

(4Ae^{2t})-4(2Ae^{2t})=4e^{2t}~~~...kedua~ruas~dibagi~4

Ae^{2t}-2Ae^{2t}=e^{2t}

-Ae^{2t}=e^{2t}

A=-1

.

Diperoleh solusi non homogennya :

y_p=-e^{2t}

.

Maka solusi totalnya adalah :

y=y_h+y_p

y=C_1+C_2e^{4t}-e^{2t}

.

> Mencari solusi khusus.

y=C_1+C_2e^{4t}-e^{2t}

y'=4C_2e^{4t}-2e^{2t}

.

Substitusi y(0) = 0 dan y'(0) = 1 :

y(0)=0

C_1+C_2e^{4(0)}-e^{2(0)}=0

C_1+C_2-1=0

C_1=1-C_2~~~...(i)

.

y'(0)=1

4C_2e^{4(0)}-2e^{2(0)}=1

4C_2-2=1

4C_2=3

\displaystyle{C_2=\frac{3}{4}}

.

Substitusi nilai C₂ ke pers.(i) :

C_1=1-C_2

\displaystyle{C_1=1-\frac{3}{4} }

\displaystyle{C_1=\frac{1}{4} }

.

Maka solusi khusunya :

y=C_1+C_2e^{4t}-e^{2t}

\displaystyle{y=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{4t}-e^{2t} }

.

KESIMPULAN

Solusi dari y''-4y'=4e^{2t} dengan y(0) = 0, y'(0) = 1 adalah \displaystyle{\boldsymbol{y=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}e^{4t}-e^{2t}} }.

.

PELAJARI LEBIH LANJUT

  1. PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/51508504
  2. PD orde 2 non homogen : yomemimo.com/tugas/37247469
  3. PD orde 3 homogen : yomemimo.com/tugas/37403796

.

DETAIL JAWABAN

Kelas : x

Mapel: Matematika

Bab : Persamaan Diferensial

Kode Kategorisasi: x.x.x

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh diradiradira dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Fri, 07 Apr 23
<< Previous Post
Next Post >>