Jawab:

1. Turunan fungsi h(x):

a. h(x) = [f(x)]²

  h(x) = [x² + 1]²

  Turunan h(x) = 2(x² + 1)(2x) = 4x(x² + 1)

b. h(x) = log[f(x)]

  h(x) = log(x² + 1)

  Turunan h(x) = 1/(x² + 1) * 2x = 2x/(x² + 1)

c. h(x) = f(x)/g(x)

  h(x) = (x² + 1)/(x²)

  Turunan h(x) = [(x² * 2x) - (x² + 1) * 2x] / (x²)² = (2x³ - 2x²) / x⁴ = 2x(x - 1)/x⁴

2. Untuk mencari nilai a dan b yang memaksimumkan luas persegi empat, kita perlu memperhatikan bahwa (a, b) adalah titik sudut persegi empat dan titik tersebut juga dilalui oleh garis y = 30 - x.

Karena (a, b) berada pada garis y = 30 - x, kita dapat menyamakan persamaan garis dengan koordinat (a, b):

b = 30 - a

Selain itu, kita juga tahu bahwa persegi empat memiliki sisi yang sama panjang, sehingga sisi persegi empat dapat ditentukan sebagai:

sisi = a - 0 = b - 0

Menggabungkan kedua persamaan tersebut:

a - 0 = b - 0

a = b

Substitusikan nilai b dari persamaan b = 30 - a ke persamaan a = b:

a = 30 - a

2a = 30

a = 15

Menggantikan nilai a ke persamaan b = 30 - a:

b = 30 - 15

b = 15

Jadi, nilai a = 15 dan nilai b = 15 akan memaksimumkan luas persegi empat.

3. a. Untuk mencari nilai Q dan P yang memaksimumkan laba perusahaan, kita perlu mencari titik stasioner (titik maksimum) fungsi laba. Dalam hal ini, laba perusahaan dinyatakan sebagai selisih antara pendapatan (P) dan biaya (C).

P = 200 - 3Q

C(Q) = 75 + 80Q - Q²

Laba (L) = P - C

L = (200 - 3Q) - (75 + 80Q - Q²)

L = -Q² - 77Q + 125

Untuk mencari titik stasioner, kita turunkan fungsi laba terhadap Q dan setel turunannya sama dengan nol:

dL/dQ = -2Q - 77 = 0

-2Q = 77

Q = -77/2

Namun, karena 0 ≤ Q ≤ 40, kita hanya mempertimbangkan nilai Q yang berada dalam rentang tersebut. Jadi, Q = 0 atau Q = 40.

Menggantikan nilai Q ke fungsi permintaan P, kita dapatkan:

P(Q = 0) = 200 - 3(0) = 200

P(Q = 40) = 200 - 3(40) = 200 - 120 = 80

Jadi, nilai Q = 0 akan menghasilkan pendapatan (harga) maksimum sebesar $200, sedangkan nilai Q = 40 akan menghasilkan pendapatan maksimum sebesar $80. Laba maksimum adalah selisih antara pendapatan dan biaya:

Laba maksimum = P(Q = 0) - C(Q = 0) = 200 - 75 = $125

b. Jika pemerintah memberlakukan pajak sebesar $4 per unit Q yang diproduksi, maka harga baru yang akan memaksimumkan keuntungan perusahaan dapat dihitung sebagai berikut:

Harga baru = Pendapatan (P) - Pajak per unit Q

Harga baru = (200 - 3Q) - (4Q)

Harga baru = 200 - 7Q

Untuk mencari harga baru yang memaksimumkan keuntungan perusahaan, kita perlu mencari titik stasioner fungsi keuntungan (pendapatan setelah dikurangi biaya dan pajak).

Keuntungan (U) = Pendapatan (P) - Biaya (C) - Pajak (T)

U = (200 - 3Q) - (75 + 80Q - Q²) - (4Q)

U = -Q² - 87Q + 125

Turunkan fungsi keuntungan terhadap Q dan setel turunannya sama dengan nol:

dU/dQ = -2Q - 87 = 0

-2Q = 87

Q = -87/2

Namun, karena 0 ≤ Q ≤ 40, kita hanya mempertimbangkan nilai Q yang berada dalam rentang tersebut. Jadi, Q = 0 atau Q = 40.

Menggantikan nilai Q ke fungsi harga baru, kita dapatkan:

Harga baru (Q = 0) = 200 - 7(0) = 200

Harga baru (Q = 40) = 200 - 7(40) = 200 - 280 = -80

Namun, harga tidak dapat negatif, jadi kita hanya mempertimbangkan nilai Q = 0.

Jadi, harga baru yang akan memaksimumkan keuntungan perusahaan adalah $200.