1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

tolong berikan pembuktian rumus jarak dua titik dalam dimensi tigabutuh

Berikut ini adalah pertanyaan dari soniatmekartini21 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Tolong berikan pembuktian rumus jarak dua titik dalam dimensi tiga


butuh bgt kak
​
tolong berikan pembuktian rumus jarak dua titik dalam dimensi tigabutuh bgt kak​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Terbuktibahwarumus jarak antara dua titik dalam dimensi tiga, yang diwakili oleh titik P(x_0,y_0,z_0)dan titikQ(x_1,y_1,z_1), dinyatakan dengan:

\begin{aligned}d(P,Q)&=\left|\overline{PQ}\right|\\&=\sqrt{\left({x_1}-{x_0}\right)^2+\left({y_1}-{y_0}\right)^2+\left(z_1-z_0\right)^2}\\\end{aligned}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Pembuktian Rumus Jarak Dua Titik Dalam Dimensi Tiga

Diketahui dua titik dalam dimensi tiga, yaitu:

  • titik P(x_0,y_0,z_0)dan
  • titik Q(x_1,y_1,z_1).

Untuk membuktikan rumus jarak antara titik PdanQ (dalam dimensi tiga) seperti yang telah diberikan, kita dapat memanfaatkan rumus jarak antara dua titik dalam dimensi dua berdasarkan teorema Pythagoras.

Misalkan terdapat bidang (plane) Ayangsejajardengan bidangXY, dan titik Pterletak pada bidangA. Maka, titik proyeksi dari titik Qpada bidangA, kita sebut saja sebagai titik R, adalah titik yang sebidang (koplanar) dengan titik P, yang memiliki:

  • komponen xdanyyang sama nilainya dengan komponenxdanydari titikQ, dan
  • komponen zyang sama nilainya dengan komponenzdari titikP.

Jadi, koordinat titik Radalah(x_1, y_1, z_0).

Karena komponen z yang sama nilainya, maka jarak antara titik PdanRdapat dinyatakan dengand(P,R), yang dalam bentuk kuadrat dinyatakan oleh:

\begin{aligned}\left[d(P,R)\right]^2&=\left|\overline{PR}\right|^2\\&=\left({x_R}-{x_P}\right)^2+\left({y_R}-{y_P}\right)^2\\\Rightarrow \left[d(P,R)\right]^2&=\left({x_1}-{x_0}\right)^2+\left({y_1}-{y_0}\right)^2\\\end{aligned}

Sedangkan jarak antara titik RdanQdapat dinyatakan dengand(R,Q), yang hanya ditentukan oleh nilai komponen z-nya saja (karena komponen xdany dari kedua titik sama nilainya), yaitu:

\begin{aligned}d(R,Q)&=\left|\overline{RQ}\right|=z_1-z_0\\\Rightarrow \left[d(R,Q)\right]^2&=\left(z_1-z_0\right)^2\end{aligned}

Jika ketiga titik dihubungkan dengan garis, maka terbentuk \triangle PRQ, yang merupakan segitiga siku-siku, yang siku-siku di \angle R, dengan \overline{PQ} sebagai hipotenusa (sisi miring).

Maka, berdasarkan teorema Pythagoras, diperoleh:

\begin{aligned}d(P,Q)&=\left|\overline{PQ}\right|\\&=\sqrt{\left|\overline{PR}\right|^2+\left|\overline{RQ}\right|^2}\\&=\sqrt{\left[d(P,R)\right]^2+\left[d(R,Q)\right]^2}\\d(P,Q)&=\sqrt{\left({x_1}-{x_0}\right)^2+\left({y_1}-{y_0}\right)^2+\left(z_1-z_0\right)^2}\\\end{aligned}

KESIMPULAN

Dengan demikian, terbukti bahwa rumus jarak antara dua titik dalam dimensi tiga, yang diwakili oleh titik P(x_0,y_0,z_0)dan titikQ(x_1,y_1,z_1), dinyatakan dengan:

\begin{aligned}d(P,Q)&=\left|\overline{PQ}\right|\\&=\sqrt{\left({x_1}-{x_0}\right)^2+\left({y_1}-{y_0}\right)^2+\left(z_1-z_0\right)^2}\\\end{aligned}
\blacksquare

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh henriyulianto dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 22 Jan 23
<< Previous Post
Next Post >>