Transformasi laplace dari fungsi f(t)=3t+4

Berikut ini adalah pertanyaan dari dwiprayoga738 pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Transformasi laplace dari $f(t)=3t+4$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{f(s)=\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s}} }$ .

PEMBAHASAN

Transformasi Laplace F(s) dari suatu fungsi F(t) dapat dicari dengan menggunakan rumus :

$\displaystyle{L[f(t)]=F(s)=\int\limits^{\infty}_0 {e^{-st}f(t)} \, dt }$

Dapat kita selesaikan dengan menggunakan metode integral tak wajar, yaitu mencari nilai limit pada saat b → ∞.

Transformasi laplace untuk berbagai fungsi antara lain :

$\displaystyle{(i).~F(t)=k~\to~F(s)=\frac{k}{s},~~~k=konstanta}$

$\displaystyle{(ii).~F(t)=t^n~\to~F(s)=\frac{n!}{s^{n+1}}}$

$\displaystyle{(iii).~F(t)=e^{kt}~\to~F(s)=\frac{1}{s-k} }$

DIKETAHUI

$f(t)=3t+4$

DITANYA

Tentukan transformasi laplacenya.

PENYELESAIAN

> Dengan menggunakan daftar rumus.

$\displaystyle{L[f(t)]=L(3t+4) }$

$\displaystyle{f(s)=L(3t)+L(4) }$

$\displaystyle{f(s)=3L(t)+L(4) }$

$\displaystyle{f(s)=3\left ( \frac{1!}{s^{1+1}} \right )+\frac{4}{s} }$

$\displaystyle{f(s)=\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s} }$

> Dengan menggunakan rumus integral tak wajar.

$\displaystyle{L[f(t)]=\int\limits^{\infty}_0 {e^{-st}f(t)} \, dt }$

$\displaystyle{f(s)=\int\limits^{\infty}_0 {e^{-st}(3t+4)} \, dt }$

$\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \int\limits^b_0 {e^{-st}(3t+4)} \, dt }$

$\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \left [ 3\int\limits^b_0 {te^{-st}} \, dt+4\int\limits^b_0 {e^{-st}} \, dt \right ] }$

$\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \left [ 3\int\limits^b_0 {te^{-st}} \, dt-\frac{4}{s}e^{-st}\Bigr|^b_0 \right ] }$

$-----------$

Misal :

$u=t~\to~du=dt$

$dv=e^{-st}dt$

$\displaystyle{v=-\frac{1}{s}e^{-st} }$

Maka :

$\displaystyle{\int\limits {te^{-st}} \, dt=uv-\int\limits {v} \, du }$

$\displaystyle{\int\limits {te^{-st}} \, dt=t\left ( -\frac{1}{s}e^{-st} \right )-\int\limits {-\frac{1}{s}e^{-st}} \, dt }$

$\displaystyle{\int\limits {te^{-st}} \, dt=-\frac{t}{s}e^{-st}-\left ( \frac{1}{s^2}e^{-st} \right )}$

$\displaystyle{\int\limits {te^{-st}} \, dt=-\frac{t}{s}e^{-st}-\frac{1}{s^2}e^{-st}}$

$-----------$

$\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \left [ 3\left ( -\frac{t}{s}e^{-st}-\frac{1}{s^2} \right )e^{-st}\Bigr|^b_0-\frac{4}{s}e^{-st}\Bigr|^b_0 \right ] }$

$\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \left [ -\frac{3t}{s}e^{-st}-\frac{3}{s^2}e^{-st}\Bigr|^b_0-\frac{4}{s}e^{-st}\Bigr|^b_0 \right ] }$

$\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \left [ -\frac{3b}{s}e^{-sb}-\frac{3}{s^2}e^{-sb}+\frac{3(0)}{s}e^{-s(0)}+\frac{3}{s^2}e^{-s(0)}-\frac{4}{s}e^{-sb}+\frac{4}{s}e^{-s(0)} \right ] }$ $\displaystyle{f(s)=\lim_{b \to \infty} \left [ -\frac{3b}{se^{sb}}-\frac{3}{s^2e^{sb}}+0+\frac{3}{s^2}-\frac{4}{se^{sb}}+\frac{4}{s} \right ] }$

$\displaystyle{f(s)=-\lim_{b \to \infty} \frac{3b}{se^{sb}}-\lim_{b \to \infty} \frac{3}{s^2e^{sb}}-\lim_{b \to \infty} \frac{4}{se^{sb}}+\frac{3}{s^2}+\frac{4}{s} }$