Jika diketahui:

• p² + q² = 81,
• m² + n² = 121, dan
• mp + nq = 99,

maka np – mq = 0.
 

Pembahasan

Diketahui:

• (i) p² + q² = 81
• (ii) m² + n² = 121
• (iii) mp + nq = 99

Ditanyakan:

• np – mq = ...

PENYELESAIAN

Tanpa mencari nilai p, q, m, dan n, kita coba cari nilai np – mq.

Dari persamaan (iii):
mp + nq = 99 = 11 · 9
⇒ (mp + nq)² = 11² · 9²
⇒ (mp + nq)² = 121 · 81  ...(iv)

Substitusikan persamaan (i) dan (ii) ke dalam (iv):
(mp + nq)² = (m² + n²)(p² + q²)   ...(v)

Jabarkan kedua ruas pada persamaan (v) dan selesaikan:
(mp)² + 2mnpq + (nq)² = (mp)² + (np)² + (mq)² + (nq)²
⇒ 2mnpq = (np)² + (mq)²
⇒ 2mnpq = (np – mq)² + 2mnpq
⇒ 2mnpq – 2mnpq = (np – mq)²
⇒ 0 = (np – mq)²
⇒ 0 = np – mq

KESIMPULAN

∴  Dengan demikian, np – mq = 0.