Jika persamaan y = (3x -1)/(x + 2) dicerminkan terhadap

Berikut ini adalah pertanyaan dari Sinogen pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Jika persamaan y = (3x -1)/(x + 2) dicerminkan terhadap garis y = -x, lalu digeser 2 poin ke bawah dan 3 poin ke kanan, maka berapakah hasil dari limit (x $\to$ 2) untuk dy/dx pada persamaan bayangannya?

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika persamaan y = (3x -1)/(x + 2) dicerminkanterhadap garisy = –x, lalu digeser 2 poin ke bawah dan 3 poin ke kanan, maka hasil dari limit (x→2) untuk dy/dxpada persamaan bayangannya adalah7/4.
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Terdapat dua langkah transformasi yang dilakukan, yaitu pencerminan/refleksi, dan translasi. Karena matriks transformasi untuk refleksi berordo 2×2, sedangkan matriks transformasi untuk translasi berordo 2×1, maka kita tidak bisa membuat matriks komposisinya, sehingga kedua langkah transformasi harus diselesaikan satu per satu secara berurutan.

T1: Refleksi terhadap garis y = –x

Cara 1

$\begin{aligned}y&=\frac{3x-1}{x+2}\\&\ {\sf Refleksi}:y'\to-x',\ x'\to-y'\\-x'&=\frac{-3y'-1}{-y'+2}\\x'y'-2x'&=-3y'-1\\x'y'+3y'&=2x'-1\\y'&=\frac{2x'-1}{x'+3}\end{aligned}$

Cara 2: Matriks Transformasi

$\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\\frac{3x-1}{x+2}\end{pmatrix}\\\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}-\frac{3x-1}{x+2}\\-x\end{pmatrix}\\x'&=-\frac{3x-1}{x+2}=\frac{3x-1}{-x-2}\\-x'x-2x'&=3x-1\\-x'x-3x&=2x'+1\\-x=y'&=\frac{2x'+1}{x'+3}\end{aligned}$

Jadi, persamaan bayangan hasil refleksi adalah:

$\boxed{\,y=\frac{2x-1}{x+3}\,}$

T2: Translasi

Diketahui bahwa translasi dilakukan dengan menggeser 2 poin ke bawah dan 3 poin ke kanan.

Kita dapat menyatakannya dengan:

$\begin{aligned}T\binom{3}{-2}\end{aligned}$

Cara 1: Tanpa Matriks

$\begin{aligned}y&=\frac{2x-1}{x+3}\\T\binom{3}{-2}\Rightarrow y&=\frac{2(x-3)-1}{(x-3)+3}-2\\&=\frac{2x-7}{x}-2\\&=\frac{2x-7-2x}{x}\\\therefore\ y&=\frac{-7}{x}\\\end{aligned}$

Cara 2: Dengan Matriks

$\begin{aligned}\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}x+3\\y-2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+3\\\frac{2x-1}{x+3}-2\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}x+3\\\frac{2x-1-2x-6}{x+3}\end{pmatrix}\\\binom{x'}{y'}&=\begin{pmatrix}x+3\\\frac{-7}{x+3}\end{pmatrix}\\\end{aligned}$

Substitusi $x'$ pada $y'$ , menghasilkan:

$y'=\dfrac{-7}{x'}$

Jadi, diperoleh persamaan bayangan final:

$\begin{aligned}\boxed{\,\vphantom{\bigg|}y=\frac{-7}{x}\,}\end{aligned}$

Evaluasi nilai limit (x→2) untuk dy/dx

$\begin{aligned}&\lim_{x\to2}\left[\frac{d}{dx}\left(\frac{-7}{x}\right)\right]\\&=\lim_{x\to2}\left[\frac{d}{dx}\left(-7x^{-1}\right)\right]\\&=\lim_{x\to2}\left[-1\cdot(-7)\cdot x^{-2}\right]\\&=\lim_{x\to2}\:\frac{7}{x^2}\\&=\boxed{\,\bf\frac{7}{4}\,}\end{aligned}$
$\blacksquare$