Jawab:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk membuktikan bahwa R merupakan suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan riil R, kita perlu memenuhi tiga syarat yaitu:

Relasi R harus merupakan suatu relasi terurut parsial (poset). Artinya, jika aRb dan bRc, maka aRc.

Setiap elemen himpunan R harus memiliki elemen yang setara (equivalent) dengannya. Artinya, untuk setiap elemen a dalam himpunan R, harus ada elemen yang setara dengan a.

Jika a dan b merupakan elemen yang setara dalam himpunan R, maka a dan b harus setara satu sama lain. Artinya, jika aRb, maka bRa.

Untuk membuktikan bahwa R merupakan suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan riil R, kita dapat menggunakan definisi relasi R yaitu aRb jika dan hanya jika a - b habis dibagi 4.

Pertama, kita akan membuktikan bahwa R merupakan suatu relasi terurut parsial (poset). Artinya, jika aRb dan bRc, maka aRc. Dengan menggunakan definisi relasi R yaitu aRb jika dan hanya jika a - b habis dibagi 4, maka:

aRb jika dan hanya jika a - b habis dibagi 4

bRc jika dan hanya jika b - c habis dibagi 4

Karena a - b habis dibagi 4 dan b - c habis dibagi 4, maka (a - b) - (b - c) habis dibagi 4.

Menggunakan rumus penjumlahan dan pengurangan, kita dapat menuliskan (a - b) - (b - c) sebagai:

a - b - b + c = a - 2b + c

Jika a - 2b + c habis dibagi 4, maka aRc.

Sehingga, jika aRb dan bRc, maka aRc. Dengan demikian, R merupakan suatu relasi terurut parsial (poset).

Kedua, kita akan membuktikan bahwa setiap elemen himpunan R harus memiliki elemen yang setara dengannya. Artinya, untuk setiap elemen a dalam himpunan R, harus ada elemen yang setara dengan a.

Untuk setiap elemen a dalam himpunan R, kita dapat mencari elemen yang setara dengan a dengan menggunakan definisi relasi R yaitu aRb jika dan hanya jika a - b habis dibagi 4.

Misalnya, jika a adalah bilangan 3, maka kita dapat mencari bilangan yang setara dengan 3 dengan menggunakan definisi relasi R yaitu aRb jika dan hanya jika a - b habis dibagi 4.

Jika kita ingin mencari bilangan yang setara dengan 3, kita dapat menambahkan bilangan 4 pada 3 sehingga menjadi 7. Kemudian, kita dapat mengecek apakah 7 - 3 habis dibagi 4 atau tidak.

7 - 3 = 4 habis dibagi 4

Karena 7 - 3 habis dibagi 4, maka 7 merupakan bilangan yang setara dengan 3. Sehingga, setiap elemen dalam himpunan R harus memiliki elemen yang setara dengannya.

Ketiga, kita akan membuktikan bahwa jika a dan b merupakan elemen yang setara dalam himpunan R, maka a dan b harus setara satu sama lain. Artinya, jika aRb, maka bRa.

Untuk membuktikan bahwa jika a dan b merupakan elemen yang setara dalam himpunan R, maka a dan b harus setara satu sama lain, kita dapat menggunakan definisi relasi R yaitu aRb jika dan hanya jika a - b habis dibagi 4.

Misalnya, jika a adalah bilangan 7 dan b adalah bilangan 3, maka kita dapat mengecek apakah 7 - 3 habis dibagi 4 atau tidak.

7 - 3 = 4 habis dibagi 4

Karena 7 - 3 habis dibagi 4, maka 7 merupakan bilangan yang setara dengan 3. Kemudian, kita dapat mengecek apakah 3 - 7 habis dibagi 4 atau tidak.

3 - 7 = -4 habis dibagi 4

Karena 3 - 7 habis dibagi 4, maka 3 merupakan bilangan yang setara dengan 7. Sehingga, jika a dan b merupakan elemen yang setara dalam himpunan R, maka a dan b harus setara satu sama lain.

Dengan demikian, kita telah memenuhi tiga syarat yang diperlukan untuk membuktikan bahwa R merupakan suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan riil R. Sehingga, kita dapat menyimpulkan bahwa R merupakan suatu relasi ekuivalen pada himpunan bilangan riil R.