1. Sekolah Dasar
  2. Sekolah Menengah Pertama
  3. Sekolah Menengah Atas
  4. Mata Pelajaran
  5. Programming

Kerjakan Menggunakan Langkah-langkah Pengerjaan, Soal Nomor 6,7, 8, Kelas 12​

Berikut ini adalah pertanyaan dari aldiadip pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

Kerjakan Menggunakan Langkah-langkah Pengerjaan, Soal Nomor 6,7, 8, Kelas 12​
Kerjakan Menggunakan Langkah-langkah Pengerjaan, Soal Nomor 6,7, 8, Kelas 12​

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Hasil integral dari \int{sin(2x) . cos (3x) \: dx} adalah  -\frac{1}{10} cos (5x) + cos (x) + C

Hasil integral dari \int{sin^{2} (3x) . cos(3x) \: dx}adalah\frac{1}{9} \left ( sin^{3} (3x) \right ) + C

Hasil integral dari \int{3x . sin(2x) \: dx}adalah-\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{4}sin (2x) + C

\bold{PENDAHULUAN}

  • \underline{\rm{Pengertian \: Anti-derivatif}}

        Definisi : Sebuah fungsi F dikatakan anti derivatif dari suatu fungsi f, jika turunan fungsi F adalah f. Proses penentuan anti derivatif dari suatu fungsi disebut anti differensiasi atau integrasi. Jika \frac{d}{dx} \left [ F(x) \right ] = f(x)maka fungsi - fungsi dalam bentukF(x) + Cadalah anti derivatif darif(x) yang dinotasikan dengan :

         \boxed{\int{f(x) \: dx = F(x) + C}}

       Dalam menyelesaikan integrasi dari fungsi trigonometri berpangkat, diperlukan beberapa identitas trigonometri atau rumus yang sering digunakan. Rumus - rumus tersebut disajikan di bawah ini sebagai referensi untuk mengerjakan soal :

  1. sin^{2} (x) + cos^{2} (x) = 1
  2. sec^{2} (x) = 1 + tan^{2} (x)
  3. csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)
  4. sin^{2} (x) = \frac{1}{2} \left ( 1 - cos (2x) \right )
  5. cos^{2} (x) = \frac{1}{2} \left ( 1 + cos(2x) \right )
  6. sin(2x) = 2 sin (x) . cos(x)
  7. sin\left ( x+y \right ) = sin (x) cos (y) + cos(x) sin (y)
  8. sin\left ( x-y \right ) = sin (x) cos (y) - cos (x) sin (y)
  9. cos \left ( x + y\right ) = cos (x) cos (y) - sin (x) sin (y)
  10. cos \left ( x - y \right ) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)
  11. sin (mx) sin (ny) = - \frac{1}{2} \left [ cos(m+n)x - cos(m - n)x \right ]
  12. cos (mx) cos (ny) = \frac{1}{2} \left [ cos(m+n)x + cos(m - n)x \right ]
  13. sin(mx) cos(ny) = \frac{1}{2} \left [sin(m+n)x + sin(m-n)x \right ]
  14. cos(mx) sin (ny) = \frac{1}{2} \left [ sin(m+n)x - sin (m-n)x \right ]

Formula identitas di atas akan membantu dalam pengerjaan soal integrasi fungsi trignometri.

\bold{PEMBAHASAN }

  • \underline{\rm{Soal \: nomor \: 1}}

Perhatikan bahwa fungsi yang akan diintegrasikan adalah sin(2x) cos(3x)sehingga kita dapat menerapkan identitasnomor 13 untuk menyelesaikan persoalan ini.

\int{sin(2x) cos (3x) \: dx} = \frac{1}{2} \int{ sin(2 + 3)x + sin(2 - 3)x}

\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = \int{sin(5x) + sin(-x) \: dx}

\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{2} \left ( \int{sin (5x) \: dx} - \int{sin (x) \: dx} \right )

\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = -\frac{1}{10} cos (5x) + cos (x) + C

Jadi, diperoleh :

\boxed{\int{sin(2x) cos(3x) \: dx} = -\frac{1}{10} cos (5x) + cos (x) + C}.

  • \underline{\rm{Soal \: nomor \: 2}}

Untuk penyelesaian integrasi fungsi sin^{2} (3x) . cos (3x) ini tidak diperlukan identitas di atas. Lakukan dengan proes integrasi substitusi dengan memisalkan u = sin (3x) diperoleh :

\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{3} \int{u^{2} du }

\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{3} . \frac{1}{3} u^{3} + C

\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{9} \left ( sin^{3} (3x) \right ) + C

Jadi, diperoleh :

\boxed{\int{sin^{2} (3x) cos(3x) \: dx} = \frac{1}{9} \left ( sin^{3} (3x) \right ) + C}

  • \underline{\rm{Soal \: nomor \: 3}}

Penyelesaian integrasi untuk fungsi 3x .sin(2x)  dilakukan secara integrasi parsial. Adapun rumus umumnya adalah :

   \boxed{\int{u \: dv} = u.v - \int{v \: du}}

Kita harus memilih pemisalan u untuk fungsi yang lebih mudah atau memiliki bentuk yang tidak rumus. Dalam hal ini fungsi yang dimaksud adalah 3xyang bertindak sebagaiudandv = sin (2x)sehinggav = \int{sin (2x) \: dx} = -\frac{1}{2} cos (2x). Maka diperoleh :

\int{3x . sin(2x) \: dx} = 3x . \left ( -\frac{1}{2} cos(2x) \right ) - \int{ \left ( -\frac{1}{2} cos(2x) .\: 3 \: dx \right )}

\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{2} \int{cos (2x) \: dx}

\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{2} . \frac{1}{2} sin (2x) + C

\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{4}sin (2x) + C

Sehingga, diperoleh :

\boxed{\int{3x . sin(2x) \: dx} = -\frac{3}{2} x \: cos(2x) + \frac{3}{4}sin (2x) + C}

\bold{Pelajari \: Lebih \: Lanjut}

===========================================

\bold{DETIL \: JAWABAN}

Kelas : 12

Mapel : Matematika

Kategori : Integral

Kata Kunci : Integral Trigonometri

Kode : 12.2.1 (Kelas 12 Matematika Bab 1 - Integral)

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh BSunShine dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sat, 17 Jun 23
<< Previous Post
Next Post >>