Penjelasan dengan langkah-langkah:

Langkah 1: Tentukan persamaan umum lingkaran dengan titik pusat (1/3, 3/2)

Diketahui titik pusat lingkaran adalah (a,b). Jadi, titik pusat lingkaran adalah (1/3, 3/2).

Skema umum persamaan lingkaran dalam bentuk umum pada umumnya adalah (x-a)² + (y-b)² = r², maka kita dapat menggantikan a dan b dengan koordinat titik pusat dan r dengan jari-jari.

(x-1/3)² + (y-3/2)² = r²

Langkah 2: Tentukan nilai r

Untuk menentukan nilai r, kita perlu mengetahui apakah persamaan lingkaran yang diberikan L1 dan L2 bersinggungan atau menyebrang satu sama lain.

Mencari persamaan L1 dan L2 dengan cara diselesaikan bersama-sama:

x² + y² + 4x - 2y - 11 = 0 (L1)

x² + y² - 6x - 4y + 4 = 0 (L2)

Kita dapat mengeliminasi y dalam persamaan tersebut dengan menjumlahkan L1 dan L2 sehingga didapat:

2x² - 2x - 7 = 0

x dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat:

x = (2 ± √30) / 4

Dengan mengganti nilai x ke salah satu persamaan L1 atau L2, nilai y dapat ditentukan. Misalnya, dengan mengganti nilai x pada persamaan L1:

(2 ± √30) / 4 )² + y² + 4(2 ± √30) / 4 - 2y - 11 = 0

y² - 2y - (23/4 ± (3√30)/4) = 0

y dapat ditentukan dengan menggunakan rumus kuadrat:

y = 1 ± √(23/4 ± (3√30)/4)

Dari sini kita dapat mengetahui bahwa L1 dan L2 tidak bersinggungan karena memiliki dua titik potong yang berbeda.

Kita perlu mencari jarak antara titik pusat lingkaran dengan titik potong L1 dan L2 untuk menentukan nilai jari-jari yang tepat.

Misalnya, titik potong L1 adalah (x1,y1) dan titik potong L2 adalah (x2,y2).

Jarak antara titik pusat lingkaran dan titik potong dapat dihitung dengan menggunakan rumus:

d = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]

Setelah menghitung jarak, kita dapat menentukan nilai r dengan mengambil nilai terbesar dari jarak yang dihitung.

Langkah 3: Hitung nilai r

Jarak antara titik pusat lingkaran dan titik potong L1:

d1 = √[(2 + √30)/4 - 1/3]² + [1 + √(23/4 + (3√30)/4) - 3/2]²

d1 = √(166/144 + 23/4 + (3√30)/2)

Jarak antara titik pusat lingkaran dan titik potong L2:

d2 = √[(2 - √30)/4 - 1/3]² + [1 - √(23/4 - (3√30)/4) - 3/2]²

d2 = √(166/144 + 23/4 - (3√30)/2)

Kita bisa mengambil nilai r terbesar dari d1 dan d2 sebagai jari-jari lingkaran.

r = max(d1,d2)

r = √(166/144 + 23/4 + (3√30)/2)

Langkah 4: Tuliskan persamaan lingkaran

Menggabungkan persamaan langkah 1 dan nilai r dari langkah 3, kita dapat menulis persamaan lingkaran yang memenuhi kondisi di atas. Jadi, persamaan lingkaran yang dicari adalah:

(x-1/3)² + (y-3/2)² = (166/144 + 23/4 + (3√30)/2)