[21/02/2023] [3.3]Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 2x² -

Berikut ini adalah pertanyaan dari Ghiyatsx pada mata pelajaran Matematika untuk jenjang Sekolah Menengah Atas

[21/02/2023] [3.3]Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 2x² - 4x + 5 = 0, susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya adalah sebagai berikut.

$e. \: x_{1} - x_{2} \: dan \: x_{2} - x_{1}$
$f. \: \frac{x_{1}}{x_{2}} \: dan \: \frac{x_{2}}{x_{1}}$

Jawaban dan Penjelasan

Berikut ini adalah pilihan jawaban terbaik dari pertanyaan diatas.

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2x^2 - 4x + 5 = 0$ , maka:

a. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1-x_2$ dan $x_2-x_1$ adalah:
$\boxed{\,x^2+6=0\,}\ .$
b. Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1/x_2$ dan $x_2/x_1$ adalah:
$\boxed{\,x^2+\frac{2}{5}x+1=0\,}\ .$

Penjelasan

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan kuadrat $ax^2+bx+c=0$ , maka persamaan kuadrat tersebut dapat dinyatakan pula dengan:
$ax^2-(x_1+x_2)ax+(x_1x_2)a=0$
atau dengan membagi kedua ruas dengan $a$ , persamaan tersebut ekuivalen dengan:
$x^2-(x_1+x_2)x+(x_1x_2)=0$ .

Diketahui:
$x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar persamaan $2x^2 - 4x + 5 = 0$ .

Soal a.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1-x_2$ dan $x_2-x_1$ memiliki bentuk:

$\begin{aligned}&ax^2-\left(\cancel{(x_1-x_2)}+\cancel{(x_2-x_1)}\right)ax+(x_1-x_2)(x_2-x_1)a=0\\&\Leftrightarrow ax^2-\left(x_1-x_2\right)^2a=0\\&\textsf{Kedua ruas dibagi }a.\\&\Leftrightarrow x^2-\left(x_1-x_2\right)^2=0\quad...(i)\\\end{aligned}$

Kita bisa menjabarkan $\left(x_1-x_2\right)^2$ sehingga nantinya kita menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat awal. Namun kita juga bisa menggunakan cara berikut ini.

Selisih dari akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan:

$\begin{aligned}x_1&=\cancel{-\frac{b}{2a}}+\frac{\sqrt{D}}{2a}\\x_2&=\cancel{-\frac{b}{2a}}-\frac{\sqrt{D}}{2a}\\\textsf{---}&\textsf{---------------------}\ -\\\left|x_1-x_2\right|&=\frac{\sqrt{D}}{a}=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\\\left(x_1-x_2\right)^2&=\frac{D}{a^2}=\frac{b^2-4ac}{a^2}\end{aligned}$

Untuk persamaan kuadrat $2x^2 - 4x + 5 = 0$ :

$\begin{aligned}\left(x_1-x_2\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{a^2}\\&=\frac{(-4)^2-4\cdot2\cdot5}{2^2}\\&=\frac{16-40}{4}\\&=4-10\\\left(x_1-x_2\right)^2&=-6\end{aligned}$
(Hasil negatif tersebut juga menandakan bahwa akar-akar persamaan kuadrat tersebut bersifat imajiner yang saling sekawan.)

Maka, dengan substitusi nilai $a$ dan $\left(x_1-x_2\right)^2$ ke dalam persamaan (i), diperoleh persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya akar-akarnya $x_1-x_2$ dan $x_2-x_1$ , yaitu:

$\begin{aligned}&x^2-(-6)=0\\&\Leftrightarrow \boxed{\,x^2+6=0\,}\end{aligned}$

Soal b.

Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1/x_2$ dan $x_2/x_1$ memiliki bentuk:

$\begin{aligned}&ax^2-\left(\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\right)ax+\left(\cancel{\frac{x_1}{x_2}}\cdot\cancel{\frac{x_2}{x_1}}\right)a=0\\&{\Leftrightarrow\ }ax^2-\left(\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1x_2}\right)ax+a=0\\&\quad \textsf{Kedua ruas dibagi }a.\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{{x_1}^2+{x_2}^2}{x_1x_2}\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}\right)x+1=0\end{aligned}$
$\begin{aligned}&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{\left(-b/a\right)^2-2c/a}{c/a}\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{b^2/a^2}{c/a}-2\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{b^2}{ac}-2\right)x+1=0\end{aligned}$

Substitusi nilai $a$ , $b$ , dan $c$ dari persamaan kuadrat awal, kita peroleh [ersamaan kuadrat baru yang akar-akarnya $x_1/x_2$ dan $x_2/x_1$ , yaitu:

$\begin{aligned}&x^2-\left(\frac{(-4)^2}{2\cdot5}-2\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{16}{10}-2\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(\frac{8}{5}-\frac{10}{5}\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }x^2-\left(-\frac{2}{5}\right)x+1=0\\&{\Leftrightarrow\ }\boxed{\,x^2+\frac{2}{5}x+1=0\,}\\\end{aligned}$
 
 
$\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}$

Semoga dengan pertanyaan yang sudah terjawab oleh DucInAltum dapat membantu memudahkan mengerjakan soal, tugas dan PR sekolah kalian.

Apabila terdapat kesalahan dalam mengerjakan soal, silahkan koreksi jawaban dengan mengirimkan email ke yomemimo.com melalui halaman Contact

Last Update: Sun, 21 May 23

<< Previous Post

Next Post >>

Kerjakan soal, tugas, & PR sekolah semakin mudah

[21/02/2023] [3.3]Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 2x² -

Jawaban dan Penjelasan

Penjelasan

Video Tutorial Android dan Smartphone

Pertanyaan Lain Mata pelajaran Matematika